En otras palabras, ¿cómo demostrar que $\mathbb{RP}^2$ no contráctiles en $\mathbb{CP}^2$.
Todas las sugerencias se agradece.
Respuesta
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Voy a aceptar Georges' desafío.
1) Cohomological. La clase fundamental de la real proyectiva del plano que define a una clase de $[\Bbb{RP}^2] \in H_2(\Bbb{CP}^2;\Bbb Z/2)$. A ver que no es trivial, recordemos que la copa del producto en cohomology de Poincaré es dual a la intersección de producto en la homología. Si podemos demostrar que $[\Bbb{RP}^2] \frown [\Bbb{RP}^2] = [pt]$, luego tenemos lo que queremos. Tomar una de estas clases para ser representado por $\{[x_0 : x_1 : x_2] \mid x_i \in \Bbb R\}$ y el otro para ser $\{[x_0 : \omega x_1 : \omega^2 x_2] \mid x_i \in \Bbb R\}$ donde $\omega$ es tu favorito no trivial de la raíz cúbica de la unidad. (Estos dos incrustaciones son homotópica, por lo tanto homóloga.) Para $[x_0 : x_1 : x_2] = [y_0 : \omega y_1 : \omega^2 y_2]$, donde todos los $x_i$ e $y_i$ son reales, debemos tener $x_1 = y_1 = x_2 = y_2 = 0$, y por lo tanto el único punto de intersección es $[1:0:0]$. Las dos tangentes espacios de estas incrustaciones se $\Bbb R^2 \subset \Bbb C^2$ e $\Bbb R \omega \oplus \Bbb R \omega^2 \subset \Bbb C^2$, que se suma a toda la $\Bbb C^2$, así que esta es una transversal de la intersección, y el producto es de hecho un punto (y, por tanto, no trivial, como se desee).
2) Una inmediata ruta para el cálculo anterior proviene de la geometría simpléctica: $\Bbb{RP}^2$ es de Lagrange y de ahí el normal bundle es isomorfo a su tangente paquete; por lo que la auto-intersección de número de $\chi(\Bbb{RP}^2) = 1$.
3) O observar que la restricción de la tautológica de la línea de haz de $\Bbb{CP}^2$ es la complejización de la tautológica de la línea de paquete en la $\Bbb{RP}^2$, y de ahí ha $c_1(\ell_{\Bbb C}) = \beta w_1(\ell_{\Bbb R}) \neq 0 \in H^2(\Bbb{RP}^2;\Bbb Z/2)$. Aquí se utiliza la fórmula general para un verdadero vector de paquete, $c_{2i+1}(E_{\Bbb C}) = \beta w_{4i+1}(E)$, o pensar en la Bockstein $\beta$ como el compuesto de $H^1(X;\Bbb Z/2) \to H^1(X; U(1)) \to H^2(X;\Bbb Z)$, el envío de un plano real de la línea de lote a un plano complejo de la línea de un paquete con la misma transición de las funciones en $\pm 1 \subset U(1)$ y luego olvidarse de la estructura plana.
4) Sorprendentemente, debido a $\pi_2(\Bbb{CP}^2) \to H_2(\Bbb{CP}^2)$ es un isomorfismo, vemos que podemos calcular $\pi_2(\Bbb{RP}^2) \to \pi_2(\Bbb{CP}^2)$ como el mapa de $\pi_2(\Bbb{RP}^2) \to H_2(\Bbb{RP}^2) \to H_2(\Bbb{CP}^2)$, $H_2(\Bbb{RP}^2;\Bbb Z) = 0$, por lo que el mapa no es detectado en $\pi_2$. Además, considerando el diagrama de comparación de la fibra de secuencias de $S^1 \to S^5 \to \Bbb{CP}^2$ e $O(2) \to S^3 \to \Bbb{RP}^2$ y el hecho de que la inclusión $S^3 \to S^5$ es nulo homotópica, vemos que el mapa es igual a cero en todos los homotopy grupos.
Todavía hay algo de la homotopy la teoría se puede decir, sin embargo. Si $\Bbb{RP}^2 \to \Bbb{CP}^2$ fue null-homotópica, en particular, una elevación de la asignación inicial a un mapa a $S^5$ (utilizando el homotopy de elevación lema), y, en particular, por la restricción de una sección de $\Bbb{RP}^2 \to S^3$ de la original fibration. Hay un número de razones por las que esto es imposible: uno es que no hay incrustado $\Bbb{RP}^2$s en $S^3$.
En la relación $c_1(\ell \otimes \Bbb C) = \beta w_1(\ell)$ real de la línea de paquetes de $\ell$.
Podemos definir un mapa de $H^1(X; \Bbb Z/2) \to H^1(X; U(1)) \to H^2(X;\Bbb Z)$, la primera por la inclusión de los coeficientes de $\pm 1 \to U(1)$ y el segundo, por el mapa de límite en el largo exacto de la secuencia de $H^1(X; \Bbb R) \to H^1(X; U(1)) \to H^2(X; \Bbb Z)$. En términos de la calculabilidad, que a largo de la secuencia exacta ayuda a identificar los $H^1(X; U(1))$ como una extensión de $H^2_{\text{tors}}(X; \Bbb Z)$ por $U(1)^{b_1}$, y el límite del mapa es sólo la proyección para el grupo de componentes de $H^2_{\text{tors}}(X;\Bbb Z)$, que luego se incluye en $H^2(X;\Bbb Z)$. En cualquier caso, todo lo que necesitas saber para calcular el núcleo de este mapa es que las clases de $H^1(X; \Bbb Z/2)$ levante a las clases de $H^1(X;\Bbb Z)$, y ambas tienen buenas definiciones en términos de homomorphisms de los fundamentales del grupo.
En el nivel de cocycles, si $\sigma$ es $\Bbb Z/2$-cocycle y $\tilde \sigma$ es un ascensor a un $\Bbb Z$-cochain, entonces como se consideró $\sigma$ como $U(1)$-cocycle arriba podemos considerar $\tilde \sigma$ como $\Bbb R$-cochain. El mapa de los límites de $H^1(X; U(1)) \to H^2(X; \Bbb Z)$ toma un ascensor de $\sigma$ como $U(1)$-cocycle a un $\Bbb R$-cochain $\tilde \sigma$, y restringe $\partial \tilde \sigma$ a $\Bbb Z$valores de cocycle. Por definición, $\beta[\sigma] = [\partial \tilde \sigma]$, y así vemos que el procedimiento descrito anteriormente da otra definición de la Bockstein.
Ahora la interpretación de los tres grupos en términos de la línea de paquetes, $H^1(X;\Bbb Z/2)$ es isomorfo al grupo de la línea real de los fardos, $H^1(X; U(1))$ es isomorfo al grupo de plano complejo de la línea de paquetes (las que están equipadas con algún sistema de local como banalizaciones con constante de mapas de transición), y $H^2(X; \Bbb Z)$ es el grupo de los complejos de la línea de paquetes. Escrito $\mathcal U(1)$ por la gavilla de continuo se asigna a $U(1)$ y de manera similar a $\mathcal R$ continuo de los mapas de a $\Bbb R$, el largo de la secuencia exacta de cohomology de $\Bbb Z \to \mathcal R \to \mathcal U(1)$ identifica a $H^1(X; \mathcal U(1)) = H^2(X; \Bbb Z)$, y comparar esta secuencia para que de $\Bbb Z \to \Bbb R \to U(1)$ identifica el mapa de $H^1(X; U(1)) \to H^1(X; \mathcal U(1)) \cong H^2(X; \Bbb Z)$ como el mapa de los límites que hemos descrito al principio.
En particular, $H^1(X;\Bbb Z/2) \to H^1(X; U(1))$ envía una línea real de paquete, tal vez se describe como una colección de local como banalizaciones con mapas de transición en $\Bbb Z/2$, a una compleja línea de un paquete con el mismo local como banalizaciones y la misma transición mapas de $\Bbb Z/2 \subset U(1)$; consideramos esto como un plano de la línea de paquete. (Este es el envío de $\ell$ a $\ell \otimes \Bbb C$ equipado con una particular estructura plana inducida por la de $\ell$.) Del párrafo anterior se identifica el siguiente mapa $H^1(X; U(1)) \to H^2(X; \Bbb Z)$ como olvidar la estructura plana. Así, el compuesto $H^1(X; \Bbb Z/2) \to H^2(X;\Bbb Z)$ envía $\ell \mapsto \ell \otimes \Bbb C$, considerado como real y compleja de la línea de paquetes, respectivamente. Debido a $w_1$ e $c_1$ dar la isomorphisms entre los grupos de la línea de paquetes y estos cohomology grupos, y se identificó que la compuesta por encima del Bockstein $\beta$, hemos visto lo que queríamos.
