¿Cómo es que la excentricidad de un círculo es igual a cero?

Question

Según muchas páginas web, incluida la Wikipedia, la excentricidad de una sección cónica se define como la relación entre (la distancia a un punto fijo llamado foco) y (la distancia a una línea fija llamada directriz). ¿Cómo se aplica esta definición a las circunferencias? ¿Qué son el foco y la directriz? ¿Son el centro y una línea tangente al círculo? En ese caso, la excentricidad no debería ser cero, debería ser indefinida, según mi intuición.

Answer 1

La excentricidad de una elipse mide lo alargada que es en comparación con un círculo. Como se define, se encuentra en el intervalo abierto $]0,1[$ con valores crecientes que indican elipses cada vez más alargadas. A medida que la excentricidad disminuye, las elipses se vuelven cada vez más circulares, por lo que un círculo puede verse como la curva límite de este proceso. Entonces tiene sentido definir la excentricidad de un círculo como el límite de las excentricidades decrecientes, es decir, cero. En cambio, a medida que la excentricidad aumenta, las elipses se alargan cada vez más, acercándose a la parábola que se obtiene cuando la excentricidad es $1$ .†

Puedes ver este proceso de limitación en acción algebraicamente. Sea $F=(-1,0)$ y $x=d$ , $d\gt0$ sean el foco y la directriz de una cónica que pasa por el origen. Usando la definición de foco-directriz de una cónica, una ecuación para la curva es $$(x+1)^2+y^2={(x-d)^2\over d^2}.$$ Como $d\to1$ , esto se aproxima a la parábola $y^2=-4x$ , mientras que como $d\to\infty$ la ecuación se aproxima a $(x+1)^2+y^2=1$ que es claramente la de un círculo, y $e=1/d\to0$ . El centro de este círculo está en $F$ -sus focos coinciden- y no tiene una directriz finita. Puede pensarse que está "en el infinito", idea que se concreta en la geometría proyectiva.††

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† Las elipses nunca se convierten realmente en una parábola, al menos no en el plano euclidiano, ya que éste no es una curva cerrada; la excentricidad de una elipse es estrictamente menor que $1$ . En el plano proyectivo, sin embargo, las parábolas e hipérbolas también son cerradas, y se puede seguir "estirando" la elipse hasta la línea del infinito y más allá, "envolviéndola" para convertirla en una hipérbola. Por otra parte, la excentricidad no es un concepto significativo en la geometría proyectiva: los círculos no se pueden distinguir proyectivamente de las elipses; hay que imponer una geometría euclidiana en el plano para hacerlo. Por otra parte, los diferentes tipos de cónicas no degeneradas son indistinguibles hasta que se designa una línea particular como línea en el infinito.

†† La polar del foco de una cónica es la correspondiente directriz; la polar del centro de una circunferencia (el centro de cualquier cónica, en realidad) es la línea del infinito.

Answer 2

una elipse general con parámetros $a,b, c=\sqrt{a^2-b^2}$ y excentricidad $e=\cfrac ca$ ,

un círculo puede considerarse como el caso en el que $a=b=r\text{(radius)}, c=0$ Por lo tanto $e=\cfrac ca=\cfrac 0r=0$