Únicas $\varphi$ asignación de número entero finito CW complejo, $\varphi(X) = \varphi(Y)$ si $X \simeq Y$?

Question

Esta es una respuesta a mi pregunta aquí.

Para cada una de las $n \in \mathbb{Z}$, existe una única función de $\varphi$ la asignación de un número entero a cada finito CW complejo, de tal manera que el siguiente?

1. $\varphi(X) = \varphi(Y)$ si $X$ $Y$ son homeomórficos.
2. $\varphi(X) = \varphi(A) + \varphi(X/A)$ si $A$ es un subcomplejo de $X$.
3. $\varphi(S^0) = n$.

Mike Miller aportó la siguiente respuesta aquí.

Sí. Por supuesto, dicha función existe; deje $\varphi_n(X) = n\tilde{\chi}(X)$ donde $\tilde{\chi}$ es la reducción de la característica de Euler. Su propiedad 2 de la siguiente manera a partir de la reducción de la homología largo de la secuencia exacta.

Llamar a una función de su tipo $\varphi_n$.

1) $\varphi_n(A \vee B) = \varphi_n(A) + \varphi_n(B)$. Siempre se puede subdividir el CW estructuras en $A \vee B$, de modo que su cuña es un CW complejo con $A$ $B$ da como subcomplejos. A continuación,$B = (A\vee B)/A$.

2) $\varphi_n(S^k) = (-1)^kn$. Esto se deduce porque si $S^{k-1} \subset S^k$ es el ecuador, a continuación,$S^k/S^{k-1} = S^k \vee S^k$. Por lo $\varphi_n(S^k) = \varphi_n(S^{k-1}) + 2\varphi_n(S^k)$. Por lo $\varphi_n(S^k) = -\varphi_n(S^{k-1})$.

3) Deje $X^k$ $k$- esqueleto de la $X$. Supongamos que sabemos que para CW complejos de dimensión en la mayoría de los $k$, $\varphi_n(X) = n\tilde{\chi}(X)$. Entonces si $X$ es de dimensión $(k+1)$, $\varphi_n(X) = \varphi_n(X^k) + \varphi_n(\vee_\ell S^{k+1}) = (-1)^{k+1}\ell n$, donde $\ell$ es el número de $(k+1)$-células en $X$. Pero la reducción de la homología es precisamente el mismo que en la alternancia de la suma del número de células en cada dimensión, menos uno. Así, el resultado de la siguiente manera.

Pregunta. Para tal función $\varphi$, no se sigue que la $\varphi(X) = \varphi(Y)$ si $X \simeq Y$?

Answer 1

Teorema de 2.44 en Hatcher el libro de los estados que $$\chi(X)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\operatorname{rank} H_n(X).$$ Now suppose $X\simeq Y$ are finite CW complexes. By the homotopy invariance of singular homology (Hatcher, Corollary 2.11), there are isomorphisms $H_n(X)\cong H_n(Y)$ for all $n\in\mathbb N_0$. In particular, the ranks of these groups are the same, so $$\chi(X)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\operatorname{rank} H_n(X)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\operatorname{rank} H_n(X)=\chi(Y).$$

La respuesta de Mike Miller le dice que $\varphi_n=n\tilde\chi$ es la única función de la satisfacción de sus necesidades. Por lo anterior, esta función satisface $$\varphi_n(X)=n\tilde\chi(X)=n(\chi(X)-1)=n(\chi(Y)-1)=n\tilde\chi(Y)=\varphi_n(Y)$$ y hemos terminado.