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Encontrar $f$ tal que $\int_{x}^{f^{-1}(x)}f(t)dt=x^2.$

Encontrar $f$ tal que $\int_{x}^{f^{-1}(x)}f(t)dt=x^2$ todos los $x\in \mathbb{R}.$ Aquí $f$ es un bijection de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ y es derivable con derivada no es igual a $0.$

He tratado de aplicar el teorema fundamental del cálculo, pero me quede $$x(f^{-1}(x))'-f(x)=2x.$$ But I am not being able to get rid of $f^{-1}(x)$ in order to get a differential equation in terms of $f(x).$ I know that $(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$, Pero esto no ayuda tampoco.

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Vasya Puntos 35

Pruebe esta función: $f(x)=(-1+\sqrt{2})x$. Yo estaba buscando una solución en forma de $f(x)=cx$,$f^{-1}(x)=\frac{x}{c}$$\int_{x}^{f^{-1}(x)}f(t)dt=\int_{x}^{x/c}ct \:dt= \frac{c}{2}(\frac{x^2}{c^2}-x^2)=\frac{cx^2}{2}(\frac{1}{c^2}-1)=x^2$. Por lo tanto, tenemos una ecuación para $c$: $\frac{c(1-c^2)}{c^2}=2$, $1-c^2=2c$.

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