Lo que se llamaba este teorema

Question

De vuelta en la universidad, hemos probado que (mucho trabajo) que si $$S(X)C(Y)+C(X)S(Y) = S(X+Y)$$ and $$C(X)C(Y)-S(X)S(Y) = C(X+Y)$$ then $S(X)$ is $\sin(x)$ and $C(X)$ is $\cos(x)$ (or constant $0$, meh). ¿Qué es este teorema se llama..?

Nota posterior por alguien que no sea el original del cartel:

Un increíblemente gran número de personas, en respuestas y comentarios (algunos ahora suprimido) han PERDIDO EL PUNTO. Estos son no el de la suma de ángulos fórmulas para el seno y el coseno. En las fórmulas, se asume la función son el seno y el coseno y la muestra de que estas ecuaciones se mantenga. En este problema, es al revés: Uno asume estas ecuaciones espera y luego la prueba, en lugar de asumir desde el principio, que las funciones seno y coseno. Incluso he rechazado una edición a la publicación original que habría escrito $\sin$ $\cos$ en lugar de$S$$C$. Que hubiera hecho la pregunta incomprensible!

Por favor: deje de hacer esto. --- Michael Hardy

Answer 1

Escribir $E(x) = C(x)+i S(x)$. A continuación,$E(x+y)=E(x)E(y)$. Este es un multiplicativo variante de Cauchy funcional de la ecuación. Sin más hipótesis en $S$ $C$ es probable que hay muchas soluciones.

Si $S$ $C$ se supone que son diferenciables, entonces $E$ satisface $E'=E$. Si por otra parte $E$ no es idénticamente cero,$E(0)=1$$E=\exp$. Por la fórmula de Euler, $S=\sin$$C=\cos$.

Así, una respuesta a su pregunta es la singularidad de la función exponencial a partir de su ecuación diferencial.

Answer 2

% Pista $\:$Said leyes además son verdaderas satisface a iff $\rm\: E(X) = C(X) + {\it i}\: S(X)\:$ $\rm\:E(X+Y)\: =\: E(X)\:E(Y)\:.\:$

Answer 3

Encontré un artículo que parece directamente relevante a la solución de las ecuaciones en: Dr. W Harold Wilson 'En determinados relacionados con ecuaciones funcionales' AMS (leído Dec 27,1917) espero que esto sea útil.