Yo estaba tratando de calcular la expectativa de $T^2$ el uso de algunos de martingala y consiguió que necesitaba la expectativa de $TS_T$. Alguna idea?
Respuesta
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Si $(S_n)$ es una simple caminata aleatoria simétrica en los enteros, a continuación, $S_n^3-3nS_n$ es una martingala. La aplicación de la opcional de frenado teorema de martingales, obtenemos $$ \mathbb{E}_x(S_T^3-3TS_T)=\mathbb{E}_x(S_0^3-0)=x^3.$$ Here $-a\leq x\leq un$ is the starting point of the random walk and $T$ is the hitting time of the boundary $\{-a,a\}$. Estándar de los resultados nos dicen que $$\mathbb{P}_x(S_T=a)={a+x\over 2a}\quad\mbox{ and }\quad\mathbb{P}_x(S_T=-a)={a-x\over 2a}$$ de modo que $\mathbb{E}_x(S_T^3)=a^2 x$. De ello se desprende que $\mathbb{E}_x(T\ S_T)=(a^2x-x^3)/3$.
Para encontrar $\mathbb{E}_x(T^2)$, se puede utilizar la martingala $S_n^4-6nS_n^2+2n+3n^2$.
Actualización: La no-simétrica caso.
Aquí está una familia infinita de exponencial martingales. Para cualquier real $\theta$ puede comprobar que $\exp(\theta S_n)/[m_X(\theta)]^n$ es una martingala. Aquí, $m_X$ es el momento de generación de la función de el incremento en el $X$. Para un no-simétrica de paseo aleatorio esto será $m_X(t)=q \exp(-\theta)+p \exp(\theta)$.
Comenzando con la exponencial martingales, puede generar otros martingales mediante la diferenciación con respecto a $\theta$, a continuación, configuración de $\theta=0$. Los dos primeros martingales se obtienen de este modo se $S_n-n\mu$ $(S_n-n\mu)^2-n\sigma^2$ donde $\mu,\sigma^2$ la media y la varianza del incremento $X$.
Para más información sobre este tema, echa un vistazo al Ejemplo M. 1.3 (página 3) de El profesor Glynn notas sobre martingales.
