Lugar geométrico de un punto de suma de la distancia de dos puntos

Question

Hallar el lugar geométrico del punto de $P$ tales que la suma de sus distancias desde $(0,2)$$(0,-2)$$6$.

Lo que yo hice: He intentado utilizar la fórmula de la distancia, pero creo que es demasiado de una tarea. Tiene que haber una manera más fácil. Por favor, me apunte en la dirección correcta. Yo creo que el lugar va a ser una elipse.

Answer 1

Eso es exactamente cómo tiene la intención de hallar el lugar geométrico: vamos a $(x,y)$ ser un punto en el locus $P$. Entonces $$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} + \sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 6.$$ Squaring both sides and simplifying, we get $$\begin{align*} 36 &= x^2 + (y-2)^2 + 2 \sqrt{(x^2 + (y-2)^2)(x^2 + (y+2)^2)} + x^2 + (y+2)^2 \\ &= 2x^2 + 2y^2 + 8 + 2\sqrt{(x^2+y^2+4-4y)(x^2+y^2+4+4y)} .\end{align*}$$ Now move terms to the LHS, divide by $2$, and square: $$(14-x^2-y^2)^2 = (x^2+y^2+4)^2 - (4y)^2$$ Now rearrange and use again the difference of squares factorization: $$(4y)^2 = (x^2+y^2+4)^2 - (x^2+y^2-14)^2 = 18(2x^2+2y^2-10),$$ from which we obtain $$4y^2 = 9(x^2+y^2-5)$$ or $$9x^2+5y^2 = 45.$$

Answer 2

Sugerencia: Comience con $\sqrt{x^2+(y-2)^2}+\sqrt{x^2+(y+2)^2}=6$, y luego reescribir esto como $\sqrt{x^2+(y-2)^2}=6-\sqrt{x^2+(y+2)^2}$.

A continuación, cuadrado ambos lados, aislar el resto de la raíz cuadrada, se divide por -4 y, a continuación, cuadrado ambos lados de nuevo.

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Otra manera de hacerlo es encontrar los puntos de $(0,a)$ $(0,-a)$ en el eje y y que satisfagan la condición dada y, a continuación, encontrar puntos de $(b,0)$ $(-b,0)$ que también cumplen esta condición.

Entonces usted puede utilizar el formulario de $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ de la elipse, ya que tiene centro en el origen y ejes que son paralelos a los ejes de coordenadas.