¿Existe una parábola que sea similar a una rama de una hipérbola?

Question

La parábola y una rama de la hipérbola, visualmente se ven similares.

La única diferencia que encuentro es que, cuando x tiende a infinito, la hipérbola se aproxima a una línea recta (asíntota). Mientras que si trazo una línea arbitraria, la parábola pasará rápidamente esa línea y continuará alejándose de ella.

Pero aún así, ¿hay alguna parábola que sea exactamente como una rama de la hipérbola?

Answer 1

Las únicas diferencias entre dos parábolas son la ubicación, orientación y factor de escala. Como se señaló en un comentario, todas tienen la misma forma.

Sin embargo, las hipérbolas vienen en muchas formas diferentes. Algunas son asíntotas a un par de líneas perpendiculares. Otras viven dentro de un ángulo mucho más grande o mucho más pequeño entre sus líneas asíntotas.

Ahora considera una secuencia de hipérbolas construidas de la siguiente manera. Colocamos un vértice de la hipérbola en un punto fijo y movemos el otro vértice lejos, permitiendo que el ángulo entre las líneas asíntotas se acerque a cero a medida que el otro vértice se aleja al infinito. Si equilibramos inteligentemente las tasas a las cuales el ángulo se hace más pequeño y el otro vértice se aleja, las hipérbolas se acercarán a la forma de una parábola.

Entonces no, no puedes hacer que una parábola parezca una rama de una hipérbola típica. Pero puedes hacer que una rama de una hipérbola se parezca casi a una parábola.

La coincidencia seguirá sin ser exacta. Podrías decir que es como pedir un número positivo que sea exactamente cero.

Answer 2

Ninguna parábola tiene una asíntota, mientras que cada rama de una hipérbola tiene dos asíntotas. Por lo tanto, nunca puede haber una parábola que se vea exactamente como una rama de una hipérbola.

Answer 3

En realidad, la parábola es un caso especial de la hipérbola, donde la excentricidad tiende a 1.

Considera esta ecuación de la parábola. $$(x-2)^2+y^2=1•\dfrac{|x|^2}{1}$$ Esta es una parábola con un foco en $(2,0)$ y una ecuación de directriz $x=0$. Se ve algo así.

Adivina qué es esto

Se parece a la parábola anterior, pero no lo es. Es una hipérbola con el mismo foco, la misma ecuación de la directriz pero con excentricidad 1.000001. No me crees, mira esta imagen ampliada.

Qué lejos ha llegado el segundo foco, cerca de $-1\times 10^7$. A medida que la excentricidad tiende a 1, el segundo foco tiende a $-\infty$ y la hipérbola se parece más a una parábola.