Puede la energía cinética ser una función del vector de posición?

Question

,Tengo una confusión a la hora de la lectura Goldstein de la Mecánica Clásica (página 20, tercera edición). Después de obtener la ecuación $$ \sum \left\{\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\left(\frac{\partial T}{\parcial \dot{q_{j}}} \right)} - \frac{\partial T}{\partial q_{j} } \right] - Q_{j} \right\} \ \delta q_{j} = 0 $$ luego dice que

Tenga en cuenta que en un sistema de coordenadas Cartesianas la derivada parcial de $T$ con respecto al $q_{j}$ se desvanece. Por lo tanto, hablando en el lenguaje de la geometría diferencial, este término surge de la curvatura de las coordenadas $q_{j}$. En coordenadas polares, por ejemplo, es la derivada parcial de $T$ con respecto a un ángulo de coordenadas que la aceleración centrípeta término aparece.

Mi pregunta es: Es el enunciado general, es decir, que la energía cinética $T$ no dependen de la posición. Me pregunto por qué la velocidad no puede depender de la posición de la partícula de vector. Quiero decir, ¿por qué no tenemos casos donde $\vec{v} = \vec{v}(\vec r ,t)$, por lo que la energía cinética depende de la $q_{j}$ o $\vec{r}$?

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Voy a utilizar el ejemplo de la segunda respuesta en este post ¿Cuál es la diferencia entre lo implícito y lo explícito dependencia del tiempo por ejemplo,$\frac{\partial \rho}{\partial t}$$\frac{d \rho} {dt}$?

la segunda respuesta,

supongamos que tenemos una distribución de la velocidad del gas, cuya función es $\vec {v}=\vec {v}(x,y,z,t)$

entonces la derivada parcial con respecto a $x$ es

$$\frac{\partial T} {\partial x}=mv\frac{\partial v} {\partial x}$$

desde $v$ depende de $x$, creo que en este caso. $\frac{\partial T}{\partial q_{j} }$ no se desvanecen.

Answer 1

Tenga en cuenta que usted es el cálculo de la derivada PARCIAL con respecto a $q$, debe tener en cuenta nada de lo que no es $q$ ( $\dot q $ puede implícitamente dependen de p y t, pero eso no importa cuando se toma la derivada parcial con respecto a $q$) es considerada una constante, por lo que su derivada parcial se desvanece. Yo no te puedo decir más, es sólo de las propiedades de las derivadas parciales, le sugiero que se de un buen libro sobre cálculo y hacer un montón de ejercicios.

Es la misma cosa cuando se trabaja fuera de Euler-Lagrange las ecuaciones, $\dfrac{\partial L}{\partial q} = \mathrm{Force(q)}$, debido a que considere la posibilidad de T una constante (ya que no dependan explícitamente de él, pero la posición en la velocidad)

Answer 2

El autor dice que, en concepto Cartesiano de coordenadas (denotar ellos $x$, $\dot{x}$), la energía cinética no depende de la segunda derivada de la coordenada. Esta es una declaración general acerca de coordenadas Cartesianas, no cualquier sistema de coordenadas.

Por lo tanto, si $T$ depende de $q$, es únicamente porque es, en un sentido, no-Cartesiana --- es decir, curvilíneo. Por lo tanto, este argumento se hace desde la posición de punto de geometría diferencial, una digresión innecesaria que el autor del hecho.

Answer 3

La única manera de que la cita no tiene sentido para mí es si él asume su conclusión. Él debe de haber escrito algunas restricciones permitidas las formas de energía cinética.