Me gustaría subrayar que esta es una tarea que es la pregunta que vale la pena una cantidad significativa de mi grado, para no dejar escapar una solución si usted lo encuentra.
Estoy tratando de mostrar que si $p^2 \in S := \{a^2 + ab + b^2 : a,\,b \in \mathbb{N} \}$,$p \in S$. Yo me imagino que $p \in S$ fib $p \not \equiv -1 \pmod 3$, por lo que puedo convertir esto en un contrapositivo prueba que demuestra que si $p \equiv -1$$p^2 \notin S$.
Sin embargo, no sé qué puedo hacer con el hecho de que $p \equiv -1$ porque de cualquier manera, $p^2 \equiv 1$. He intentado buscar mod $p$, pero no tengo idea de cómo relacionar esto con el mod 3. He intentado buscar en la prueba del hecho de que $p = a^2 + b^2$ fib $p\equiv 1 \pmod 4$, pero no veo cómo traducir en algo similar en este caso.
He utilizado la fórmula de $4p = 3(a+b)^2 + (a-b)^2$ a simplificar mucho de mi trabajo hasta ahora. Tengo que $\gcd(a,b) = 1$. Yo sé que para $p^2 = a^2 + ab + b^2$, $a,\,b \ne 1,\,2$ esencialmente por la fuerza bruta. Tengo un montón de cálculos de particular a, b, pero creo que es mayormente irrelevante ahora que sé lo $p$ es el modulo $3$.
Qué enfoques crees que me podría tomar para resolver el siguiente paso? No veo a dónde ir desde aquí.
