¿Qué es el "muestreo de una distribución"?

Question

Ejercicio 4.11.3 de Grimmett y Stirzaker de la Probabilidad y Procesos Aleatorios dice "Utilizar el rechazo de un método para la muestra de la gamma, densidad $\Gamma(\lambda,t)$ donde $t (\geq 1)$ no puede ser asumido integral."

¿Qué es exactamente este ejercicio pidiendo? De manera más general, ¿qué se entiende por "muestreo de una distribución" (o "muestreo a partir de una densidad")? Sección 4.11 de los libros de texto se refiere a la "muestra" una y otra vez, pero no la definen.

Parece que, con base en los ejemplos, que significa simplemente encontrar una variable aleatoria con la distribución dada. Si eso es correcto, ¿por qué se llama "muestreo"?

Se supone que tengo que usar una computadora para este ejercicio?

Answer 1

En vista del contexto, el ordenador no está involucrado. Más bien, uno pide un método para generar una variable aleatoria $X$, con una distribución dada (en su caso, Gamma) a partir de una colección, posiblemente infinita, independiente de las variables aleatorias, las cuales son distribuidos de manera uniforme sobre $(0,1)$, o algunas transformaciones simples de estos.

Por ejemplo supongamos que uno pide un estándar de la variable aleatoria gaussiana. Un enfoque muy popular, llamado el de Box-Muller método, es el uso de $U_1$ $U_2$ i.yo.d. uniforme en $(0,1)$ y para establecer $X=\sqrt{-2\log U_1}\cos(2\pi U_2)$. Ver aquí para más explicaciones y ejemplos.

En el Box-Muller método, se utiliza $U_1$ $U_2$ para obtener una variable aleatoria $X$. Aceptación-rechazo de los métodos son diferentes, ya que el uso de un número aleatorio de variables aleatorias para obtener $X$. Su principio general es el uso de un determinado número de me.yo.d. variables aleatorias, por ejemplo de dos uniforme de variables aleatorias $U_1$$U_2$, y para probar si estas satisfacer un bien propiedad elegida, decir $\mathcal Q(U_1,U_2)$. Si $\mathcal Q(U_1,U_2)$ sostiene, uno acepta $(U_1,U_2)$ en el sentido de que uno de los conjuntos de $X=\Phi(U_1,U_2)$ para una adecuada función de $\Phi$, y el juego es largo. De lo contrario, es decir, si $\mathcal Q(U_1,U_2)$ no se sostiene, uno rechaza $U_1$ $U_2$ , y que uno realiza la misma prueba con otros dos uniforme de variables aleatorias $U_3$$U_4$, dicen. Si $\mathcal Q(U_3,U_4)$ sostiene, uno acepta $(U_3,U_4)$ en el sentido de que uno de los conjuntos de $X=\Phi(U_3,U_4)$, y el juego es largo. De lo contrario se rechaza $U_3$ $U_4$ y uno se vuelve a $U_5$$U_6$, y así sucesivamente. También se puede mantener algo de información de la rechazó valores aleatorios, como por ejemplo, su número, para hacer que el valor de $X$, pero el procedimiento anterior es siempre la idea.

Por lo tanto, en rechazo a los métodos, el número total de variables aleatorias $U_n$ se utiliza para producir un valor de $X$ es al azar. En su caso, se le da una posiblemente infinita secuencia $(U_n)_{n\geqslant1}$ de i.yo.d. uniforme de variables aleatorias y se le pide que elabore un algoritmo para producir una variable aleatoria $X$ con una distribución Gamma, utilizando casi seguramente un número finito de variables aleatorias $U_n$.

Una buena y relativamente breve introducción es el primer capítulo (La aceptación rechazo método con aplicaciones; la generación de una variable aleatoria normal estándar) de las notas de la conferencia de este curso. Otra fuente, escrito para los astrofísicos de alta energía y muy con los pies en la tierra, está aquí.

El segundo enlace que proporciona el código de un algoritmo para generar distribuciones Gamma de lo que ellos llaman una de Lorenz de la distribución, que también es conocido como un estándar de la distribución de Cauchy. Esto es muy conveniente ya que la segunda es simplemente la distribución de $\tan(\pi U)$ $U$ uniforme en $(-1,1)$. Prefiero dejar el placer de poner a estos pedazos juntos para inventar a su algoritmo, a menos de que te quedas atascado en algún punto.

Answer 2

La pregunta está pidiendo que idear un plan para generar números aleatorios de acuerdo a la distribución Gamma$(\lambda, t)$. Formalmente, se están viniendo para arriba con una manera de construir una variable aleatoria (es decir, una función medible de un espacio de probabilidad a los reales) con una determinada distribución dada sólo una secuencia de variables aleatorias independientes de predeterminado distribuciones, el uso de un método en particular - en este caso, el así llamado "rechazo de muestreo". El habitual rechazo algoritmo de muestreo para obtener muestras de una distribución con densidad de $f$, con otro densidad de $g$, es a lo largo de las líneas de este:

1. Ejemplo de $Y \sim g(y)$ a partir de algunos candidatos de distribución, y $U \sim \mbox{Uniform}(0, 1)$ de forma independiente.
2. Acepte $Y = X$ como una simulación de $f(x)$ si $U \le \frac{f(Y)}{Mg(Y)}$ donde $M \ge \sup_x \frac{f(x)}{g(x)}$.
3. De lo contrario, volver al paso 1, el uso de variables aleatorias que son independientes de los que ya han sido generados.

Más precisamente, tenemos secuencias de $Y_1, Y_2, ...$ $U_1, U_2, ...$ de los independientes de variables aleatorias en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, P)$, y si que lleva a cabo este algoritmo para cada uno de ellos fijo $\omega \in \Omega$, entonces la variable aleatoria $X$ puede ser demostrado para ser distribuidos de acuerdo a la $f$, siempre que el apoyo de $g$ contiene el apoyo de $f$, y que tal $M < \infty$ existe. Como Dider notas, queremos que nuestro algoritmo para terminar después de un número finito de pasos, casi con toda seguridad, y se puede demostrar que este.

En el caso de la distribución Gamma, usted puede tomar $g(y)$ a ser otro Gamma, densidad de saber cómo muestra de, digamos Gamma$(\lambda', t')$ donde $t'$ es integral. Usted puede conseguir fácilmente atrae de tal Gamma usando sólo el uniforme de variables aleatorias, y a continuación, convertirlos en los sorteos de la Gamma$(\lambda, t)$ utilizando el método anterior.

Answer 3

Creo que usted tendría que usar algo como MATLAB para eso. Usted tendrá que introducir los valores adecuados, y se puede generar un conjunto de valores aleatorios que se puede trabajar desde.