Qué $S$ abarca $V$ cada $v \in V$ es una combinación lineal finita de elementos en $S$?

Question

Definir $\mathbb{R}^{\infty}:=\lbrace (a_1,a_2,a_3,\ldots) \mid a_i \in \mathbb{R} \rbrace$ y deje $\phi_i((a_1,a_2,a_3,\ldots))=a_i$. Mostrar que $S=\lbrace \phi_i \mid i \geq 1 \rbrace$ no abarcan el espacio dual $L(\mathbb{R}^{\infty},\mathbb{R})$, el espacio de lineal funcionales en $\mathbb{R}^{\infty}$.

Así que supuse que si $S$ abarca $L(\mathbb{R}^{\infty},\mathbb{R})$, entonces cada funcional lineal $f$ $\mathbb{R}^{\infty}$ puede ser expresado como un número finito de combinaciones lineales de $\phi_i$. Pero considerar:

$f(e_i)= \begin{cases} 1 & \quad \text{if } i \text{ is even}\\ 0 & \quad \text{if } i \text{ is odd}\\ \end{casos}$

A continuación,$f=\sum_{k=1}^{\infty}\phi_{2k}$, lo que claramente es una infinita combinación lineal. Es mi prueba correcta? Qué necesito para asumir finito combinación lineal? Gracias de antemano!

Answer 1

"Combinación lineal"---a menos que se indique lo contrario---significa "finito de combinación lineal."

Además, usted simplemente escribí $f$ como una infinita suma de los $\phi_i$'s; usted necesita para demostrar que no existe una combinación lineal de las $\phi_i$'s, que se resume a $f$. Usted puede mostrar esta contradicción; la búsqueda de una contradicción, supongamos que existen $\{a_k\}_{k = 1}^n, \{i_k\}_{k = 1}^n$, de modo que $$f = \sum\limits_{k = 1}^n a_k \phi_{i_k}.$$

Reetiquetar $i_k$'s de modo que $i_1 < i_2 < \ldots < i_n$. A continuación, tomamos nota de que $f(e_{2i_n}) = 1$ pero $\phi_{i_j}(e_{2i_n}) = 0$ todos los $j$ lo que implica $$1 = f(e_{2i_n}) = \sum\limits_{k = 1}^n a_k \phi_{i_k}(e_{2i_n}) = 0,$$

una contradicción.

Answer 2

Infinitas combinaciones lineales no están definidos. Usted necesita demostrar que, para cualquier subconjunto finito $F$ $S$ $f$ no pertenece al intervalo de $F$. Tenga en cuenta que no es restrictiva a considerar $F_n=\{\phi_1,\phi_2,\dots,\phi_n\}$, debido a que cualquier subconjunto finito de $S$ está contenido en $F_n$, para algunas de las $n$.

Supongamos $f$ pertenece al intervalo de $F_n$; a continuación, $$f=\sum_{k=1}^n c_k\phi_k,$$ y así, por $m>n$, $$f(e_m)=0,$$ lo cual es absurdo, tomando $m=2n+1$.

Answer 3

En la teoría algebraica de módulos sobre un anillo de $A$ (o más de un campo $K$.k.un vector de espacios) de las combinaciones lineales de finito de apoyo son esenciales a tener en cuenta. Una combinación lineal finita es finito de apoyo, pero el recíproco no es necessarly verdadero.

El apoyo de una familia $(\lambda_i)_{i\in I}$ de los elementos de un anillo de $A$ (de campo o $K$) o más en general, en un conjunto $E$ es el conjunto de todos los índices que $\lambda_i\neq 0$ donde $0$ es la unidad de elemento de una ley de composición para ser considerado en el anillo de $A$ (de campo o $K$) más general en el conjunto de $E$. Por lo tanto, una familia no puede ser-finito pero finitely compatibles.

También decir que $x$ entra como una combinación lineal de una familia de $(x_i)_{i\in I}$ de los elementos en el módulo o espacio vectorial $E$ con coeficientes que se encuentran en el subyacente anillo de $A$ (de campo o $K$), si existe una familia finita de apoyo de tales coeficientes $(\lambda_i)_{i\in I}\quad \lambda_i\in A$ (o $K$) tal que, $x=\sum_i \lambda_i x_i$. La unidad de elemento a considerar aquí es $0$ la unidad de la adición de la ley en el conjunto de escalares, es decir en el anillo de $A$ (o el campo de $K$).

Dado cualquier familia $(x_i)_{i\in I}$ de elementos finito (o no) de un módulo o un espacio vectorial $E$, el subespacio generado por esta familia es el espacio de todas las combinaciones lineales (es decir, hecho con una familia de coeficientes de finito de apoyo) de esta familia.

Espero que esto ayude.