Si $f_n \rightarrow f$ $f$ es uniformemente continua, entonces no $f_n \rightarrow f$ uniforme?

Question

Deje $f_n$ ser una secuencia de funciones, $f_n : S\rightarrow T$, no necesariamente continua y supongamos que $f_n \rightarrow f$$n \rightarrow \infty$. Deje $f$ ser uniformemente continua. I. e. para todos los $\epsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0$ tal que $\forall x\in S, |f(x) - f(y)| \lt \epsilon$ siempre $|x - y| \lt \delta, y\in S$.

Queremos demostrar que para todos los $\epsilon \gt 0, \ \exists N$ tal que para todos los $x \in S, n\gt N$,$|f_n(x) - f(x)|\lt \epsilon$.

Si la necesitamos, $S$ es compacto y $T = \mathbb{C}$.

Desde $S$ es compacto, por el teorema del valor extremo existe $c,d \in S$ tal que $f(c) \leq f(x) \leq f(d), \ \forall x \in S$.

Answer 1

Esto es falso. Por ejemplo, considere la secuencia de funciones (que son aún continua)

$$f_n(x) = \begin{cases}{nx \quad(0 \leq x \leq 1/2n) \\ 1/2-nx \quad (1/2n \leq x \leq 1/n) \\ 0 \quad ( 1/n \leq x \leq 1) }\end{cases}$$

converge a $0$ sobre el espacio compacto $[0,1]$, pero no de manera uniforme.

Answer 2

No, por ejemplo, Vamos a $S=[0,1]$, e $f_n$ ser la característica de la función de $\{1/n\}$, que converge a la función cero, pero con $|f_n(1/n)-f(1/n)|=1$ todos los $n$, lo que muestra que la convergencia no es uniforme. Usted puede modificar esto para hacer cada una de las $f_n$ continua (diferenciable, etc.) si lo desea.

Answer 3

Las personas hacen ejemplos inútilmente complicado. Qué tal esta: $$f_n(x) = \arctan(x-n).$$ A continuación,$f_n(x) \to-\pi/2$$n\to\infty$, y la función constantemente igual a $-\pi/2$ es uniformemente continua, pero la secuencia no converge uniformemente.

Answer 4

Considere la posibilidad de $f_n(x) = x^n$$(0,1)$. A continuación,$f_n(x) \to 0$, y la función de $x \mapsto 0$ definitivamente es uniformemente continua, pero es evidente que la convergencia no es uniforme (desde $f_n (\frac{1}{\sqrt[n]{2}}) = \frac{1}{2}$).

Answer 5

Esto no va a funcionar bien para usted, lo siento. Por ejemplo, supongamos $f_n\colon [0,1]\to [0,1]$ ser dada por $$f_n(x)=\begin{cases} 0 & 0<x<\frac 1 n \\ 1 & (x=0) \lor \left(\frac1n\le x\right). \end {casos}$$ A continuación, $(f_n)$ converge pointwise a $x\mapsto 1$, pero no converge uniformemente.