Demostrar que $ { \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = e^{-1} } $.

Question

Quiero demostrar que $$ { \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = e^{-1} } $$. Se me ocurrió una prueba, pero quiere asegurarse de que es correcta. Aquí está mi prueba:

$$ { \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n-1}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n-1} \right)^{-n} = \\ \lim_{n\to\infty} \left((1+\frac{1}{n-1} )^n\right)^{-1} = \lim_{n-1\to\infty} \left((1+\frac{1}{n-1} )^{n-1}(1+\frac{1}{n-1})\right)^{-1} = \\ \lim_{n-1\to\infty} \left(e(1+\frac{1}{n-1})\right)^{-1} = e^{-1}} $$

Es una prueba válida? Sé que hay otras pruebas, pero quiero saber acerca de esto. En particular, podemos substitude $e$ en lugar de $(1+\frac{1}{n-1} )^{n-1}$ e $1$ en lugar de $(1+\frac{1}{n-1})$ en el límite?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Su idea de la prueba es correcta, pero es necesario escribir un poco mejor. Vamos a ver cómo podemos hacer esto.

Primero de todos, usted comienza con la manipulación de la límite de $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac 1n\right)^n$, sin saber que existe. Seguro, que no existe en la final, sino manipular lo que usted necesita saber que existe, y es un número real, ¿verdad? A menos que usted justificar esto previo a las manipulaciones, usted estará en el mal.

Es decir, la prueba de pasos son válidos sólo si se demuestra que $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac 1n\right)^n$ existe antes de hacer todo esto. Usted no ha hecho esto, y por lo tanto yo no lo llamaría la prueba completa.

Sin embargo, con un giro de sus pasos, usted puede asegurarse de que usted don t necesidad de proporcionar la prueba de que el límite de la existencia, pero acaba de obtener su valor directo, y por lo tanto su existencia. Vamos a ver por qué.

Para ver esto, empezar con $e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac 1n\right)^n$, que se debe haber hecho antes del ejercicio.

Pasamos $ n \to n-1$ conseguir $\lim_{n \to \infty} \left(\frac n{n-1}\right)^{n-1} =e $.

Tomando el recíproco del límite nos da $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1} = e^{-1}$(Estamos usando $e \neq 0$ aquí, pero usted debe saber esto).

El límite de $\lim_{n \to \infty}\frac {n-1}n = 1$ es fácil de ver. Por el producto de los límites de resultado, tomar el producto con la línea anterior da $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^n = e^{-1}$.

Por la separación de las $\frac{n-1}n = 1 - \frac 1n$ anterior, podemos ver que el límite existe, y su valor se obtiene sin necesidad de manipular o utilizar en absoluto. Esta prueba, en esencia, ha reorganizado sus pasos, de tal manera que usted no está utilizando manipular el límite que se desea calcular, antes de encontrar su valor, sin mostrar su existencia. La prueba de que han trabajado, si se había demostrado que la $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n}\right)^n$ existe antes de hacer toda la manipulación que se hizo.

Por lo tanto, mantener en mente que la manipulación de un límite requiere que usted para probar su existencia. Si usted no puede hacer esto, entonces es una "inversión de pasos" al igual que he hecho, pueden ser útiles.

EDIT : me voy de la anterior prueba como un "modelo de prueba" para este problema. Sin embargo, como un comentario más abajo se señala, todas las manipulaciones que se han realizado (tomando recíprocos, la separación de términos, etc.) se han realizado dentro del límite, que es completamente permisible. Sin embargo, sólo porque hay un límite sentado detrás de cada una de estas expresiones, y, en particular, la primera expresión, cuyo límite que se van a encontrar, todavía puede parecer que usted está asumiendo que el límite existe.

Por ejemplo, considere la siguiente claramente incorrecta secuencia de instrucciones : $$ \lim_{x \to 0} \frac 1x = \lim_{x \to 0} x^{-1} = \lim_{x \to 0} x \times x^{-2} $$

Desde el primer límite no existe, ni tampoco ninguno de los otros. Así las igualdades son falsas.

Sin embargo, supongamos que quitar el "$\lim_{x \to 0}$" parte : $$ \frac 1x = x^{-1} = x \times x^{-2} $$

a continuación, estos son perfectamente enunciados verdaderos (por $x \neq 0$). Algo como esto , si se hace para vuestra prueba, masivamente mejora.

Es decir, en su prueba, solo quitar "$\lim$" de todas las expresiones, excepto la última. Así que ahora tu prueba de como queda : $$ \left(1 - \frac 1n\right)^n = ... = \left( \left( 1 + \frac 1{n-1}\right)^{n-1}\left(1 + \frac 1{n+1}\right)\right)^{-1} $$

y luego dicen : el límite de $\left(1+ \frac 1{n+1}\right)^{n-1}$ existe y es igual a $e$. Del mismo modo, el límite de $\left(1 + \frac 1{n+1}\right)$ existe y es igual a $1$. Ahora, el límite del lado derecho existe y es igual a $e^{-1}$ desde el producto y la regla de reciprocidad por los límites. Por lo tanto el límite de la izquierda lado también existe y es igual a $e^{-1}$.

Así que creo que sólo el hecho de que el lugar "$\lim$" mientras que hace las manipulaciones algebraicas, es el causante del problema. Quitar, y el problema es tan bueno como ha ido.

Answer 2

La prueba es correcta, sin embargo como se dijo en otras respuestas es mejor no hablar sobre el límite de una expresión si no han dicho límite existe. De lo contrario, es un argumento circular: "Suponiendo que el límite existe, puedo demostrar que el límite existe [y es igual...]".

Así que la escritura debería ser más bien $${\left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = \left(\frac{n-1}{n} \right)^n =\left(\frac{n}{n-1} \right)^{-n} = \\ \left((1+\frac{1}{n-1} )^n\right)^{-1} = \left((1+\frac{1}{n-1} )^{n-1}(1+\frac{1}{n-1})\right)^{-1}}$$

A continuación, utilice el hecho conocido de que $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$que $\displaystyle\lim_{n\to \infty} 1 + \frac{1}{n-1} = 1$, por lo que por el producto y la multiplicación de los límites, el límite de $\left( 1-\frac{1}{n} \right)^n$ existe y es igual a $\frac 1e$.