La construcción de una determinada función.

Question

Lo siento por el vago título, pero aquí está la pregunta. Deje $F := C_b([0,1],\mathbb R)$ y $$U_n := \left \{f \F: \forall x \in [0,1] \existe y \in [0,1]: \left \lvert \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right \rvert > n \right \}$$ Quiero demostrar que la $U_n$ se encuentra denso en $F$ $\sup$- norma. De forma heurística determinado $\epsilon > 0$ $f \in F$ podemos hacer una función de $g:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ como sigue:

$f$ es uniforme continua desde $[0,1]$ es compacto (estándar métrico). Así podemos encontrar una $\delta > 0$ s.t. para todos los $x,y \in [0,1]: |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$. Ahora podemos encontrar puntos de $0=x_1<x_2<\cdots<x_n=1$ s.t. $|x_i-x_{i+1}|<\delta$ por cada $i$. Definir $g(x_i) := f(x_i)$ .

Ahora me encuentro en problemas. Podemos hacer $g$ modelo lineal por tramos y tener algún tipo de "dientes de sierra" de la forma con el fin de tener $g \in U_n$. Además debe ser posible obtener esta forma, y aún habiendo $\|f-g\|_\infty < \epsilon$. Cómo formalizar esta ?

Answer 1

El truco, como dices, es para superponer una sierra de dientes función-o algo similar-en $f$. Como también se ha sugerido, uniforme continuidad de $f$ significa que para todos los $\epsilon>$ podemos encontrar una tramos función lineal $\tilde{f}$ tal que $\|f-\tilde{f}\|_\infty<\epsilon$. Por lo tanto, basta a la aproximación por tramos lineales de las funciones de los elementos de $U_n$.

Definimos $\Lambda_{\epsilon,r}:[0,1]\to\mathbb{R}$ como los dientes de sierra con la función de la amplitud de la $\epsilon$ y la pendiente $\geq r$ tal que $\Lambda_{\epsilon,r}(0)=\Lambda_{\epsilon,r}(1)=0$. Tenga en cuenta que, naturalmente, $\|\Lambda_{\epsilon,r}\|_\infty\leq\epsilon$$\Lambda_{\epsilon,n}\in U_n$.

Si $f(x) = ax+b$ ($a\neq 0$) se define en $[c,d]\subseteq[0,1]$, dejamos $g_{\epsilon,n}(x)=f(x) + \Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{x-c}{d-c}))$, y la nota $$\frac{|g_{\epsilon,n}(x)-g_{\epsilon,n}(y)|}{|x-y|} = \frac {|(x-y) + \Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{x-c}{d-c})-\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{y-c}{d-c})|}{|x-y|}\geq\\ \geq \frac{|\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{x-c}{d-c})-\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{y-c}{d-c})|}{|x-y|}-a$$ y como sabemos, para todos los $x\in[c,d]$ podemos encontrar $y\in[c,d]$ tal que $$\frac{|\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{x-c}{d-c})-\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{y-c}{d-c})|}{|x-y|} =\\ = (d-c)^{-1}\frac{|\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{x-c}{d-c})-\Lambda_{\epsilon,(d-c)(n+a)}(\frac{y-c}{d-c})|}{|\frac{x-c}{d-c}-\frac{y-c}{d-c}|} = (n+a)$$ así que $$\frac{|g_{\epsilon,n}(x)-g_{\epsilon,n}(y)|}{|x-y|}\geq (n+a)-a = n.$$ También, $g_{\epsilon,n}(c)=f(c)$; $g_{\epsilon,n}(d)=f(d)$.

Por último, si $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es seccionalmente lineales, una combinación de aproximaciones en cada segmento de la linealidad claramente finalizar el ejercicio (y la continuidad también se conserva).