Derivadas del enésimo polinomio ciclotómico

Question

¿Existen propiedades útiles del $k$ derivada de la $n$ ¿el polinomio ciclotómico?

En particular, ¿cuál sería el valor de esto en $1$ y $0$ o cualquier propiedad del valor del $k$ ª derivada en $0$ o $1$ ?

Answer 1

Estos son algunos resultados de la primera derivada en $0$ y en $1$ . Tal vez pueda explotar la técnica para conseguir más de estos. Sospecho que será un lío.

Teorema : Tenemos $\Phi_1'(0) = 1$ y $$\Phi_n'(0) = -\mu(n)$$ para $n>1$ , donde $\mu$ es la función de Möbius.

Prueba : Tenemos

$$X^n-1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(X).$$

Tomando derivadas logarítmicas en ambos lados, tenemos

$$\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_{d\mid n} \frac{\Phi'_d(X)}{\Phi_d(X)}.$$

Ninguno de estos términos tiene polos en $X=0$ , por lo que podemos poner simplemente $X=0$ en ambos lados para obtener (para $n>1$ ):

$$0 = \sum_{d\mid n}\frac{\Phi'_d(0)}{\Phi_d(0)}.$$

Ahora tenemos $\Phi_d(0) = -1$ para $d=1$ y $\Phi_d(0) = 1$ para $d>1$ . Por lo tanto, podemos reescribirlo como

$$0 = 1 + \sum_{d \mid n, d>1}-\Phi_d'(0).$$ Por inversión de Möbius obtenemos el resultado.

Teorema : Tenemos $\Phi_n'(1)=1$ y $$\Phi_n'(1) = e^{\Lambda(n)} \varphi(n)/2$$ para $n>1$ , donde $\Lambda$ es la función de Von Mangoldt y $\varphi$ es la función de Euler.

La prueba es similar. En la ecuación

$$\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_{d\mid n} \frac{\Phi'_d(X)}{\Phi_d(X)},$$

restamos $\Phi_1'(X)/\Phi_1(X) =1/(X-1)$ de ambos lados, porque queremos deshacernos del poste. Entonces tenemos, después de la cancelación,

$$\frac{(n-1)X^{n-2} + (n-2)X^{n-3} + \dots + 2X + 1}{X^{n-1} + \dots + X + 1} = \sum_{d\mid n, d >1} \frac{\Phi'_d(X)}{\Phi_d(X)}.$$

Evaluando ambos lados en $X=1$ obtenemos

$$\frac{n-1}{2} = \sum_{d\mid n, d >1} \frac{\Phi'_d(1)}{\Phi_d(1)}.$$ Una vez más, por la inversión de Möbius, por el hecho de que $\Phi_d(1) = e^{\Lambda(d)}$ para $d>1$ (ejercicio), y por el hecho de que $\sum_{d \mid n} \mu(d) d = \varphi(n)$ , obtenemos el resultado.

Answer 2

La derivada $\Phi_n'(t)$ es útil no sólo para $t=0$ o $t=1$ pero para $t=\zeta_{p^r}$ , a $p^r$ -raíz primitiva de la unidad. Para demostrar que de todos los ideales primos en $\mathbb{Z}$ , sólo $P=(p)$ está ramificado en el campo ciclotómico $K=\mathbb{Q}(\zeta_{p^r})$ se necesita que el discriminante esté dado por $$ D(1,\zeta_{p^r},\ldots ,\zeta_{p^r}^{\phi(p^r)})=\pm N_{K/\mathbb{Q}}(\Phi_n'(\zeta_{p^r}))=\pm p^{rp^r-rp^{r-1}-p^{r-1}}. $$