¿Cómo puedo calcular la derivada usando la cadena y de las reglas de productos?

Question

¿Cómo puedo calcular la derivada de la siguiente función utilizando la cadena y de las reglas de productos?

$y=30e^{-0.2x} \cdot \cos (1.5x) + 100$

Sé que voy a tener que usar:

$y=vu'+uv'$

Y he encontrado la respuesta con Wolfram Alpha - no puedo averiguar los pasos!

Gracias!

Answer 1

Aquí está la evaluación detallada. Utiliza las reglas de los derivados. La suma de la regla, la regla del producto de una constante por una función, el producto de la regla, la regla de la cadena y la derivada de una constante. (Ver detalles más abajo).

$$\begin{eqnarray*} y^{\prime } &=&\frac{d}{dx}\left( 30e^{-0.2x}\cos (1.5x)+83.4\right) \\ &=&\frac{d}{dx}\left( 30e^{-0.2x}\cos (1.5x)\right) +\frac{d}{dx}83.4\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{by rule 1} \\ &=&30\frac{d}{dx}\left( e^{-0.2x}\cos (1.5x)\right) +0 \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{ by rules 4 and 3} \\ &=&30\left( \left( \frac{d}{dx}e^{-0.2x}\right) \cos (1.5x)+e^{-0.2x}\frac{d% }{dx}\cos (1.5x)\right)\qquad\text{by rule 2} \\ &=&30\left( \left( e^{-0.2x}\frac{d}{dx}\left( -0.2x\right) \right) \cos (1.5x)+e^{-0.2x}\left( -\sin (1.5x)\right) \frac{d}{dx}(1.5x)\right)\quad\text{by rule 5} \\ &=&30\left( \left( e^{-0.2x}\left( -0.2\right) \right) \cos (1.5x)+e^{-0.2x}\left( -\sin (1.5x)\right) (1.5)\right) \\ &=&-30\left( 0.2e^{-0.2x}\cos (1.5x)+1.5e^{-0.2x}\sin (1.5x)\right) \\ &=&-6e^{-0.2x}\cos 1.5x-45e^{-0.2x}\sin \left( 1.5x\right) \end{eqnarray*}$$

Reglas:

1. Aplicación de la regla de la suma: $$(u+v)'=u'+v'\qquad(1)$$ to $\frac{d}{dx}\left( 30e^{-0.2 x}\cos (1.5 x)+83.4\right)$: $$\frac{d}{dx}\left( 30e^{-0.2x}\cos (1.5x)+83.4\right)=\frac{d}{dx}\left( 30e^{-0.2x}\cos (1.5x)\right) +\frac{d}{dx}83.4$$
2. Aplicación del producto la regla: $$y^{\prime }=\left( uv\right) ^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime },\qquad (2)$$ with $u=e^{-0.2 x}$, $v=\cos (1.5 x)$. Thus $u^{\prime }=\left( e^{-0.2 x}\right) ^{\prime }$, $v^{\prime }=\left( \cos (1.5 x)\right) ^{\prime }$ and $$\left( uv\right) ^{\prime }=\left( e^{-0.2 x}\right) ^{\prime }\cos (1.5 x)+e^{-0.2 x}\left( \cos (1.5 x)\right) ^{\prime }$$ or $$\frac{d}{dx}\left( e^{-0.2 x}\cos (1.5 x)\right) =\left( \frac{d}{dx}% e^{-0.2 x}\right) \cos (1.5 x)+e^{-0.2 x}\frac{d}{dx}\cos (1.5 x).$$
3. Derivada de una constante $c$: $$\frac{d}{dx}c=0.\qquad(3)$$
4. Derivada de un producto de una constante por una función (caso particular de $(2)$): $$\frac{d}{dx}cf(x)=c\frac{d}{dx}f(x)=cf'(x).\qquad(4)$$
5. Aplicación de la regla de la cadena: si $u=g(x)$, $$\frac{d}{dx}f(g(x))=\left( \frac{df(u)}{du}\right) _{u=g(x)}\times \frac{% dg(x)}{dx}.\qquad(5)$$ For $u=g(x)=-0.2 x$, $f(g(x))=e^{-0.2 x}$, $f(u)=e^{u}=f'(u)$, $u^{\prime }=g^{\prime }(x)=-0.2$. Hence, in a different notation: $$\frac{d}{dx}e^{-0.2 x}=\frac{d}{d\left( -0.2 x\right) }\left( e^{-0.2 x}\right) \times \frac{d}{dx}\left( -0.2 x\right) =e^{-0.2 x}\left( -0.2\right) $$ Similarly, we get $$\frac{d}{dx}\cos (1.5 x)=\frac{d}{d\left( 1.5 x\right) }\cos (1.5 x)\times \frac{d}{dx}\left( 1.5 x\right) =(-\sin (1.5 x))\left( 1.5\right). $$