En primer lugar, no es claro para mí cómo probar (asumiendo que es cierto que, como en el buen caso) que el hecho de que $f$ es la orientación de conservar en un punto de $x \in M$ implica que es la orientación de conservar en cada punto. Es decir, me gustaría demostrar que si para algunos $x$ $M$ $f_*: H_n(M, M - \{ x\}) \to H_n(M, M - \{ f(x)\}) $ tenemos que $f_*([M]_x) = [M]_{f(x)}$, entonces el mismo es válido para cada punto en $M$ (aquí se $[M]_x$ es de nuestra selección de un generador de $H_n(M, M-\{ x\})$).
Esto es cierto siempre y cuando $M$ está conectado. Para cualquier $x\in M$, hay algún conjunto abierto $U$ contiene $x$ y un elemento $[M]_U\in H_n(M,M-U)$ tal que para todos los $y\in U$, la imagen de $[M]_U$ $H_n(M,M-\{y\})$ es el generador de $[M]_y$ elegido por nuestra orientación. Reducción $U$, podemos asumir que existe también una clase $[M]_{f(U)}\in H_n(M,M-f(U))$. Podemos reducir $U$ a asumir $U$ es una bola en un barrio de $x$ homeomórficos a$\mathbb{R}^n$, de modo que el mapa de $H_n(M,M-U)\to H_n(M,M-\{y\})$ es un isomorfismo para cada una de las $y\in U$ (y lo mismo para $f(U)$) y así, los elementos $[M]_U$ $[M]_{f(U)}$ son únicos.
Entonces tenemos que para cualquier $y\in U$, $f$ envía $[M]_y$ $[M]_{f(y)}$fib $f_*:H_n(M,M-U)\to H_n(M,M-f(U))$ envía $[M]_U$$[M]_{f(U)}$. La última condición no depende de el punto de $y\in U$. Por lo tanto si $f$ es de la orientación de la preservación de a $x$, es la orientación de la preservación en un barrio de $x$, y lo mismo si es la orientación de la inversión. De manera que los conjuntos de puntos donde se $f$ es de la orientación de la preservación y donde $f$ es la orientación de la inversión, que son una partición de $M$. Si $M$ está conectado, uno de estos conjuntos deben ser todos los de $M$.
En segundo lugar, me gustaría mostrar que $f_*([M]_x) = [M]_{f(x)}$ algunos $x$ implica $g_*([M]_x) = [M]_{g(x)}$.
Esto es suficiente para mostrar que $f_*([M]_x) = [M]_{f(x)}$ implica $(f_t)_*([M]_x) = [M]_{f_t(x)}$ para todos lo suficientemente pequeño $t$. La fijación de un vecindario $V\cong\mathbb{R}^n$$f(x)$, hay un abrir vecindario $U$ $x$ e una $\epsilon>0$ tal que $f_t(U)\subseteq V$ todos los $t\in[0,\epsilon]$. Podemos muy bien suponer $\epsilon=1$, $U$ es todo nuestro dominio, y $V$ es nuestro todo el codominio. Que es, bien podemos asumir que tenemos un homotopy que consiste en abrir incrustaciones $f_t:U\to\mathbb{R}^n$ por cada $t\in [0,1]$, y el deseo de mostrar a $f_0$ es de la orientación de la preservación de a $x$ fib $f_1$ es de la orientación de la preservación de a $x$.
Pero ahora podemos modificar nuestros mapas $f_t$, de modo que podemos ver en un solo punto: vamos a $f_t'(y)=f_t(y)-f_t(x)$. Tenga en cuenta que $f_t'$ es de la orientación de la preservación de a $x$ fib $f_t$ es de la orientación de la preservación de a $x$, ya que difiere en composición con una traducción, que es la orientación de la preservación de la en $\mathbb{R}^n$. También tenemos $f_t'(x)=0$ todos los $t$. Así, teniendo en cuenta la inducida por los mapas de $H_n(U,U-\{x\})\to H_n(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n-\{0\})$, podemos ver que $f_0'$ es de la orientación de la preservación de a $x$ fib $f_1'$ es de la orientación de la preservación de a $x$. De ello se desprende que $f_0$ es de la orientación de la preservación de a $x$ fib $f_1$ es de la orientación de la preservación de a $x$, como se desee.
[En este argumento, estoy usando el hecho de que $\mathbb{R}^n$ tiene sólo dos orientaciones diferentes, de modo que cuando nos oriente el codominio $\mathbb{R}^n$ en la misma manera como nuestro orientación en $V$, tenemos la norma de orientación o de su opuesto. Esto garantiza que la traducción es la orientación de la preservación de la en $\mathbb{R}^n$, para el escogido para nuestra orientación. El hecho de que $\mathbb{R}^n$ sólo tiene dos orientaciones es porque está conectado, el uso de la primera parte de la respuesta anterior.]
