Conectado en $x^TAx$ para la matriz spd $A$ en términos de diagonal

Question

Dejemos que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sea una matriz simétrica positiva definida y $x\in\mathbb{R}^n$ algún vector. Quiero encontrar un límite de la forma $$x^T Ax \leq c \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2$$ con una constante $c>0$ .

Si $\lambda_\text{min}$ et $\lambda_\text{max}$ denotan el menor y el mayor valor propio de $A$ (ambos son positivos debido a la suposición de spd), entonces un límite que se mantiene es $$x^T Ax \leq \frac{\lambda_\text{max}}{\lambda_\text{min}} \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2.$$ Prueba: $x^TAx \leq \lambda_\text{max} \Vert x\Vert^2 = \frac{\lambda_\text{max}}{\lambda_\text{min}} \sum_{i=1}^n \lambda_\text{min} x_i^2 \leq \frac{\lambda_\text{max}}{\lambda_\text{min}} \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2$ , donde utilizamos que $a_{ii} \geq \lambda_\text{min}$ para todos $i$ .

Sin embargo, creo que debería haber un límite más estricto. Por ejemplo, la desigualdad se mantiene con $c=1$ si $A$ es diagonal. ¿Alguna idea?

Answer 1

Puedes sustituirlo por $y_i = \sqrt{a_{ii}}\;x_i$ . Entonces está buscando el más pequeño $c$ con $$y^T \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & & & 0 \\ & \frac{1}{\sqrt{a_{22}}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{\sqrt{a_{nn}}} \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & & & 0 \\ & \frac{1}{\sqrt{a_{22}}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{\sqrt{a_{nn}}} \end{pmatrix} y \leq c \| y \|_2^2 \;\;\forall y\in\mathbb{R}^n$$ que es el mayor valor propio de $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & & & 0 \\ & \frac{1}{\sqrt{a_{22}}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{\sqrt{a_{nn}}} \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{a_{11}}} & & & 0 \\ & \frac{1}{\sqrt{a_{22}}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{\sqrt{a_{nn}}} \end{pmatrix}$$