La enésima potencia de la siguiente matriz

Question

La matriz es $ \begin {pmatrix}0&1 \\ -1&0 \end {pmatrix}^n $ para $n=2 \implies \left ( \begin {matrix}-1 & 0 \\ 0 &-1 \end {matrix} \right )$ para $n=3 \implies \begin {pmatrix}1&0 \\0 &1 \end {pmatrix}$ para $n=4 \implies \begin {pmatrix}-1&0 \\0 &-1 \end {pmatrix}$

así que asumo que por cada $n=2k $ donde k es un número natural y más grande que $0$ la matriz será $ \begin {pmatrix}-1&0 \\0 &-1 \end {pmatrix}$ y por cada $n=2k+1$ donde k es un número natural y más grande que $0 $ la matriz será $ \begin {pmatrix}1&0 \\0 &1 \end {pmatrix}$

¿Cómo puedo probarlo? Probablemente con la inducción y ¿cómo puedo obtener fácilmente los inversos de las matrices?

Answer 1

Sólo tienes que calcular la primera potencia:

$$A= \begin {pmatrix}0&\!-1 \\1 &0 \end {pmatrix}\;,\;\;A^2= \begin {pmatrix}\!-1&0 \\0 &-1 \end {pmatrix}=-I$$

y eso es todo lo que necesitamos, desde entonces

$$A^3=A \cdot A^2=-A\;,\;\;A^4=I\;,\;\;A^5=A;, \ldots\text {etc.}$$

Answer 2

$${{ \left ( \begin {matrix} \cos \, \phi & - \sin \, \phi \\ \sin \, \phi & \cos \, \phi \\ \end {matrix} \right )}^{n}}= \left ( \begin {matrix} \cos \,n \phi & - \sin \ n \phi \\ \sin \,n \phi & \cos \,n \phi \\ \end {matrix} \right )$$ Sabemos que $A= \begin {pmatrix}0&\!-1 \\1 &0 \end {pmatrix}$ y luego poner $ \phi = \frac { \pi }{2}$ .

Answer 3

$ \newcommand { \braces }[1]{ \left\lbrace\ ,{#1}\, \right\rbrace } \newcommand { \bracks }[1]{ \left\lbrack\ ,{#1}\, \right\rbrack } \newcommand { \dd }{ \mathrm {d}} \newcommand { \ds }[1]{ \displaystyle {#1}} \newcommand { \expo }[1]{\, \mathrm {e}^{#1}\,} \newcommand { \ic }{ \mathrm {i}} \newcommand { \mc }[1]{ \mathcal {#1}} \newcommand { \mrm }[1]{ \mathrm {#1}} \newcommand { \pars }[1]{ \left (\,{#1}\, \right )} \newcommand { \partiald }[3][]{ \frac { \partial ^{#1} #2}{ \partial #3^{#1}}} \newcommand { \root }[2][]{\, \sqrt [#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand { \totald }[3][]{ \frac { \mathrm {d}^{#1} #2}{ \mathrm {d} #3^{#1}}} \newcommand { \verts }[1]{ \left\vert\ ,{#1}\, \right\vert }$ \begin {alinear} \color {#f00}{ \pars { \begin {array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0 \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}}Más} {\b1}de la familia.{\b}} \ic ^{n} \pars { \begin {array}{rr}0 & - \ic \\ \ic & 0 \end {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}}{\b1}{\b1}{\b1}}Aquí.{\b}{\b1} \color {#f00}{ \left\ { \begin {array}{rcl} \ds { \pars {-1}^{n/2} \pars { \begin {array}{rr}1 y 0 \\ 0 & 1 \end y \mbox Si \ds {n}\ \mbox es incluso \\ [2mm] \ds { \pars {-1}^{ \pars {n - 1}/2} \pars { \begin {array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0 \end y \mbox Si \ds {n}\ \mbox impar \end {\i1}{\b1} \right. } \end {alinear}

porque $ \ds { \sigma_ {y} \equiv \pars { \begin {array}{rr}0 & - \ic \\ \ic & 0 \end {array}}}$ satisface $ \ds { \sigma_ {y}^{2} = \sigma_ {y}}$ .