Deje $(a_{i,j})_{i,j=1}^n$ ser una secuencia de números reales tales que la siguiente serie converge $$ S = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j} $$ Es sabido que para cada una de las $i$th la siguiente serie converge $$ S_i = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^na_{i,j} $$ Quiero demostrar claramente que el siguiente tiene $$ S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nS_i $$
Mi intento: Sabemos que para cualquier $\epsilon_i>0$ existe alguna $N_i$ tal que para todos los $n\geq N_i$ $$ \left|\sum_{j=1}^na_{i,j}-S_i\right|\leq \epsilon_i $$ para cualquier $i\geq1$. También, sabemos que para cualquier $\epsilon>0$ existe otra $N$ tal que para todos los $n\geq N$ $$ \left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}-S\right|\leq \epsilon $$ Ahora, queremos mostrar que para cualquier $\tilde{\epsilon}>0$ existe otra $\tilde{N}$ tal que para todos los $n\geq \tilde{N}$ $$ \left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}-\sum_{i=1}^nS_i\right|\leq \tilde{\epsilon} $$ Pero, tenemos que \begin{align} \left|S-\sum_{i=1}^nS_i\right| &\leq \left|S-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}\right|+\left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}-\sum_{i=1}^nS_i\right|\\ &\leq \epsilon+\sum_{i=1}^n\left|\sum_{j=1}^na_{i,j}-S_i\right|\\ &\leq \epsilon+\sum_{i=1}^n\epsilon_i \leq \epsilon+n\cdot\max \epsilon_i :=\tilde{\epsilon} \end{align}
