Este es un ejercicio que aparece en alguna hoja de ejercicios de geometría tórica. Tomemos dos celosías, $N=\mathbb{Z}^{3}$ y $N'=\operatorname{Span}_\mathbb{Z}\{(-1,-1,1), (-1,2,1), (2,-1,1)\}$ . El ejercicio pide que se demuestre que el grupo $N/N'$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ . He intentado hacerlo construyendo un homomorfismo entre $N$ y $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ con núcleo $N'$ y utilizando el primer teorema del homomorfismo, pero no llegué al resultado. Entonces encontré la relación, entre los tres generadores de $N'$ , digamos que $u_{1},u_{2},u_{3}$ , $u_{1}+u_{2}+u_{3}=(0,0,3)$ y por eso traté de demostrar que $u_{1}$ y $u_{2}$ forman parte de una base de $\mathbb{Z}^3$ . Al hacerlo, quería utilizar $N/N'=(u_{1}\mathbb{Z}\oplus u_{2}\mathbb{Z}\oplus e_{3}\mathbb{Z})/(u_{1}\mathbb{Z}\oplus u_{2}\mathbb{Z} \oplus 3e_{3}\mathbb{Z})\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ . Pero la cuestión aquí es que $u_1$ y $u_2$ no forman parte de una base de $\mathbb{Z}^{3}$ su cuña es proporcional a $3$ . ¿Tienes alguna otra idea? Estoy seguro de que el resultado es correcto, porque está en un ejercicio. Gracias.
Respuestas
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Para un homomorfismo explícito intente $$(a, b, c) \mapsto b + c$$ Esto es subjetivo y tiene $N'$ en el núcleo. Lo único que falta es que demuestres que $N'$ es el núcleo, que debe serlo para que la declaración sea correcta.
Editar: Así que el giro es correcto, el vector $(1, 0, 0)$ está en el núcleo de este homomorfismo pero $(a, 0, 0)$ está en $N'$ si y sólo si $3$ divide $a$ . Así que $N/N'$ es de hecho $(\mathbb Z/3)^2$ y un homomorfismo explícito dando que es, por ejemplo, $(a, b, c) \mapsto (a + c, b + c)$ .
La matriz de relaciones para $N'$ es
$$\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \end{pmatrix}$$
con la reducción de filas y columnas vemos que esta matriz tiene la forma normal de Smith
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
en $\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $\mathbb{Z}^3 /N' \cong \mathbb{Z} / (1) \oplus \mathbb{Z} / (3) \oplus \mathbb{Z} / (3) = \mathbb{Z} / 3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ .
Para los detalles de por qué esto funciona, y por qué también funciona para cualquier módulo finitamente generado sobre un EPI, véase el Álgebra Básica I de Jacobson. Además del isomorfismo, también se obtiene un bonito algoritmo para encontrar generadores que expresen un módulo finitamente generado sobre un EPI como una suma directa de submódulos cíclicos.
Para todos los enteros $a,b,c$ $$ (3a,3b,3c)=(c-a-b)(-1,-1,1)+(b+c)(-1,2,1)+(a+c)(2,-1,1), $$ así que $N'\supset 3\mathbb{Z}^3$ . Por lo tanto, $N/N'\cong M/M'$ donde $M=\mathbb{Z}^3/3\mathbb{Z}^3\cong\mathbb{Z}_3^3$ y $M'$ es la imagen de $N'$ en $M'$ . Pero las imágenes de todos los vectores $(-1,-1,1), (-1,2,1), (2,-1,1)$ coinciden en $M$ . Por lo tanto, $N/N'\cong \mathbb{Z}_3^2$ .
