Las identidades de los operadores de Hecke

Question

Mientras estudiaba, recientemente me encontré con el siguiente problema interesante.

Digamos que el (nivel uno) peso $k$ formas modulares $M_k(\Gamma(1))$ tiene dimensión $d$. Sabemos por la estructura de anillo de $M_*(\Gamma(1))$ que el mapa de $M_k(\Gamma(1)) \rightarrow \mathbb{C}^d$, el envío de un formulario a su primera $d$ los coeficientes de Fourier, es un isomorfismo. Esto sugiere una base natural para la $M_k(\Gamma(1))$: la pre-imágenes de la norma base de vectores $(e_1, \ldots, e_n)$$\mathbb{C}^d$. Vamos a llamar a esta base $g_1, \ldots, g_d$.

El reclamo es que si $T_n$ $n$th Hecke operador, entonces

$$T_n = \sum_{j=1}^{d-1} a_n(g_j) T_j$$

actuando en $S_k(\Gamma(1))$.

¿Cómo se puede demostrar esta identidad?

Yo había pensado acercarse a este mediante el uso de la fórmula para los coeficientes de Fourier de los operadores de Hecke. Sabemos que basta para comprobar que ambos lados están de acuerdo en la base de vectores $g_k$, lo que podemos comprobar mediante la comparación de la primera $d$ los coeficientes de Fourier. En principio, podemos escribir una fórmula para$b_i(T_n g_k)$$\sum_{j=1}^{d-1} a_n(g_j) b_i(T_j(g_k))$, pero he intentado hacer esto y me pareció muy complicado.

EDIT: yo originalmente aceptado la respuesta de abajo, pero ahora no sé que es correcto - ver mi comentario.

Answer 1

El espacio de la cúspide de las formas $S_k(\Gamma(1))$ admite una base normalizada ($a_1=1$) eigenforms, por lo que es suficiente para demostrar la identidad de normalizado eigenforms.

Deje $f = \alpha_1 g_1 + \cdots \alpha_{d-1} g_{d-1}$ ser normalizado eigenform en $S_k(\Gamma(1))$. A continuación, $$T_n(f) = a_n(f)f = [\alpha_1a_n(g_1) + \cdots + \alpha_{d-1}a_n(g_{d-1})]f,$$ donde $a_n(\cdot)$ indica el $n$th coeficiente de Fourier de la forma modular.

Por otro lado, desde la $a_j(f) = \alpha_j$$0 < j < d$, tenemos $$\sum_{j=1}^{d-1}a_n(g_j)T_j(f) = \sum_{j=1}^{d-1}a_n(g_j)a_j(f)f = \sum_{j=1}^{d-1}a_n(g_j)\alpha_jf.$$