Por favor ayuda. Gran confusión acerca de los "dos niveles de discurso'' en lógica matemática.

Question

Considero que las matemáticas se construyen de la siguiente manera: Tenemos algunas colecciones de símbolos y reglas (que están y tienen que ser descritas en un lenguaje natural) para manipular estos símbolos. Si ahora fijamos ciertas cadenas de símbolos (que pueden resultar ser, por ejemplo, los axiomas de ZFC), somos capaces de derivar a través de nuestras reglas todo lo que consideramos matemáticas.

Por lo tanto, para mí, cualquier pieza de matemáticas, ya sea una proposición o una definición, es simplemente una cadena deducible (probablemente sea un formalista, aunque no tengo un claro entendimiento de las diferentes orientaciones filosóficas que un matemático puede adoptar), así que no tengo problemas con cosas como "verdad absoluta" ya que solo creo en mi sistema de deducción y mi intuición que me ayuda a aceptar una prueba como correcta sin escribir/leer la deducción completa de la misma, sino solo los pasos "fundamentales" de deducción, que luego me permiten "escribir la prueba completa si quisiera" (lo cual por supuesto nunca haría, exageré un poco, con la esperanza de aclarar mi punto de vista, ya que siento que los matemáticos "platonistas", cuando hablan de cosas como estas, a menudo me malinterpretan).

Ahora aquí está una lista de preguntas, todas interconectadas, y creo que se deben principalmente al hecho de que confundo en qué contextos hablamos de qué objetos (de ahí el título):

¿Es correcta mi visión de las matemáticas?

¿Por qué es que en muchos libros de lógica matemática (por ejemplo, en el libro de Ebbinghaus, Flum y Thomas) los primeros capítulos, que describen cómo podemos manipular estos símbolos (es decir, la sintaxis), a menudo se utiliza la palabra "conjunto" y se realizan operaciones matemáticas (como asignaciones), cuando en este punto no tenemos conjuntos y funciones y demás a nuestra disposición (es decir, aunque intuitivamente sé lo que son, simplemente no los tenemos disponibles en este momento)?

Si entiendo todas las apariciones de la palabra "conjunto" y asignaciones en esos capítulos como no un conjunto en el sentido de ZFC y solo una colección de símbolos y todas las aplicaciones de funciones como aplicaciones de las reglas simples de manipulación de esos símbolos, lo que me permite reemplazar algunos símbolos con otros, puedo entender la parte de sintaxis. Pero cuando entra en juego la semántica y de repente tratamos con estructuras como $\left(\mathbb{N},R^{\mathbb{N}}\right)$, estoy completamente confundido. Ni siquiera tenemos ZFC aún, ¿cómo podemos hablar de $\mathbb{N}$?

Por último, leí que ZFC se puede utilizar como base para la lógica de primer orden? ¿Pero cómo puede ser esto si necesitábamos la lógica de primer orden en primer lugar para poder hablar de las cadenas que conforman ZFC?

Espero muchísimo respuestas detalladas, ya que estas preguntas me han molestado durante mucho tiempo y estoy cansado de leer introducciones en diferentes libros de lógica sin obtener estas respuestas.

Answer 1

Existen varias aproximaciones filosóficas a este problema, y probablemente no sea posible hacer una afirmación interesante al respecto con la que todo lógico de buena fe esté de acuerdo.

Sin embargo, creo que una actitud razonablemente convencional es que el juego formal con símbolos y reglas que describen los textos de la lógica matemática no es en sí mismo Matemáticas. Más bien, el juego formal es un modelo matemático del tipo de razonamiento que los matemáticos trabajadores aceptan como demostraciones válidas, de la misma manera que las ecuaciones diferenciales pueden ser un modelo de trayectorias de proyectiles o la teoría de grafos puede modelar las redes de distribución eléctrica.

La lógica de primer orden en general y ZFC en particular constituyen un modelo exitoso del razonamiento matemático, en el sentido que la mayoría de los argumentos empleados por matemáticos reales pueden ser modelados exactamente en ZFC de manera bastante directa (excepto algunos argumentos de teoría de categorías que necesitan algunas soluciones algo torpes para ser adaptados a ZFC), y que la mayoría de los matemáticos estarían de acuerdo en que cualquier argumento que pueda ser modelado en ZFC es un argumento de "matemáticas convencionales" válido. Pero aún así, el modelo no es la cosa en sí misma -- que las matemáticas puedan ser modeladas en ZFC no significa que las matemáticas sean ZFC.

Lo que hacen las introducciones convencionales a la lógica matemática es asumir que ya tienes un entendimiento intuitivo funcional del razonamiento matemático ordinario, qué es una demostración válida, cómo funcionan los enteros, y así sucesivamente. Luego te muestran cómo, usando estas herramientas preexistentes, puedes construir un modelo de razonamiento matemático y usar ese modelo para entenderlo mejor.

La mayoría de los textos modernos también asumirán que tu educación matemática existente te ha introducido a usos simples "bien tipados" de conjuntos en argumentos matemáticos, y por lo tanto se sienten libres de utilizar eso en la construcción de un modelo. Si deseas minimizar la cantidad de conceptos matemáticos intuitivos que necesitas para construir el modelo, puedes hacerlo sin ningún concepto de "conjunto" - Gödel demostró que la aritmética en los enteros es, en cierto sentido técnico, suficiente, pero en la práctica se puede argumentar que necesitas cierto sentido intuitivo de qué son las cadenas de símbolos finitas, cómo se concatenan, y así sucesivamente.

Sin embargo, no es posible eliminar completamente todos los requisitos sobre el razonamiento matemático, porque entonces no podrías empezar a decir nada en la página 1.

Answer 2

La declaración de apertura esboza una especie de formalismo ingenuo. Para explorar algunas de las dificultades en articular un tipo coherente de formalismo, y las dificultades que acompañan esa posición, no se puede hacer mucho mejor que comenzar aquí: http://plato.stanford.edu/entries/formalism-mathematics/

No estoy seguro de lo que puede significar decir que no tienes números y funciones, etc. a tu disposición cuando te enfrentas a la lectura de textos avanzados sobre lógica matemática. ¡Después de todo, tus clases de matemáticas de la escuela secundaria te dijeron mucho sobre esas cosas! Las matemáticas del siglo XIX nos dicen mucho más, antes de que se hubiera soñado siquiera con la ZFC. (Y pocos matemáticos trabajadores de hoy les importa un comino la ZFC: estoy dispuesto a apostar que el 90% de los profesores de un departamento de matemáticas ni siquiera podrían decirte qué son los axiomas. Pero presumiblemente tienen números y funciones e incluso algunos conjuntos de esos a su disposición. Por supuesto, puedes idear proxies para números reales, funciones, espacios vectoriales, etc. en ZFC si eso es de tu agrado o si se adapta a tu propósito: pero la mayoría de los matemáticos se las arreglan perfectamente bien sin eso.)

Y no sé lo que significa decir que ZFC es una base para la lógica de primer orden. ¿Base en qué sentido? Un sistema de deducción natural de primer orden estándar de ninguna manera depende de ZFC, y se puede demostrar que es sólido y completo con respecto a la semántica estándar sin recurrir a ella.

Answer 3

¿Es correcta mi visión de las matemáticas?

No creo que los libros sobre lógica matemática expliquen completamente las matemáticas. De hecho, la mayor parte de las matemáticas no necesariamente se basa en la teoría de conjuntos. Las matemáticas de principios del siglo XX se centraban en gran medida en los fundamentos axiomáticos, por ejemplo, ver el trabajo de Bertrand Russell y el programa de Hilbert, etc. mucha filosofía analítica del siglo XX se ocupa de los fundamentos lógicos de las matemáticas, así que hay mucho que decir sobre este tipo de preguntas, que generalmente no se discuten en libros de lógica matemática.

¿Dónde estamos en este punto sin conjuntos, funciones, etc. a nuestra disposición?

Sí, la definición de los conjuntos es algo circular. De alguna manera, los números naturales no son conceptos más avanzados que los conjuntos, aunque la teoría de conjuntos se construye de esta manera. Tal vez una forma de pensar en esto es una máquina de estados finitos que acepta números naturales no está incorporando los axiomas ZFC. Estoy de acuerdo en que este tipo de preguntas son muy difíciles. Los libros de matemáticas no suelen ser filosóficos, tienen un modus operandi diferente.

¡Ni siquiera tenemos ZFC, entonces, ¿cómo podemos hablar de ℕ?

Un buen libro de teoría de conjuntos debería explicar cuál es la progresión de ZFC a N. De hecho, ZFC es necesario como base para ℕ, ver el Axioma del Infinito, http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity. Recuerda que los conjuntos no tienen un orden, es decir, que los números ordinales tienen una estructura mucho más rica que simplemente los conjuntos. Por ejemplo, supongamos que quieres contar las notas en una pieza de música. Un método para contar se basa en la capacidad de distinguir entre diferentes notas. En realidad, hay una opinión según la cual la teoría de conjuntos introduce cierta visión del mundo, que no abarca todos los dominios. Es por eso que algunos matemáticos inventaron la teoría de categorías. Se puede decir mucho sobre la jerarquía de la ontología inducida por las nociones de la teoría de conjuntos. Por cierto, la música es en realidad un muy buen ejemplo donde la teoría de conjuntos no ofrece la semántica adecuada, así que esta es una buena forma de probar los conceptos.

Por último, ¿leí que ZFC se puede usar como base para la lógica de primer orden?

No, es al revés. Necesitamos fórmulas como: existe una cosa tal que X, para todo X: ..., operadores lógicos (y, o). Quizás todo debería ser más claro si lees lo siguiente: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_system. Por cierto, si tienes tiempo, te sugeriría que también leas los textos históricos.