Yo no soy un fan de la Angrist y Pischke libro, pero tienen un estilo de redacción, y como dicen, fuzzy RD es IV (Seg 6.2). Este hecho es oscurecido por el hecho de que el instrumento es esencialmente una transformación no lineal (función de paso) de una de las variables exógenas, que por virtud de la condicional supuesto de exogeneidad, es un instrumento válido.
Se supone que cada sujeto se caracteriza por la tupla de variables aleatorias, $\{Y_{0i}, Y_{1i}, D_i, X_i\}$ donde $Y_{0i}$ $Y_{1i}$ son los posibles resultados en virtud de no-tratamiento y tratamiento, respectivamente, $D_i$ es un indicador de la variable de si se administra el tratamiento (que rige cual de los posibles resultados se observó a un sujeto), y $X_i$ es el llamado forzar variable que de manera determinista o estocástico determina el tratamiento. Generalmente, la difusa RD [FRD] modelo se expresa como el conciso conjunto de especificaciones
$$
\begin{align}
\lim_{x\downarrow x_0} \mathbb{E}(D_i\mid X_i = x) &\neq \lim_{x\uparrow x_0} \mathbb{E}(D_i\mid X_i = x)\\
\lim_{x\downarrow x_0} \mathbb{E}(Y_{0i}\mid X_i = x) &= \lim_{x\uparrow x_0} \mathbb{E}(Y_{0i}\mid X_i = x)\\
\end{align}
$$
que son intuitivamente transparente, pero son difíciles de trabajar.
Potencial del marco de resultados del
Podemos usar el conocido potencial de los resultados del modelo para desempaquetar estas especificaciones, donde, por la sencillez de la exposición, la exclusión de todas las otras variables exógenas, otros que el forzamiento de la variable, $X_i$, que de manera determinista (en el caso de RDD) o estocásticamente (en el caso de FRD) determina el tratamiento de asignación ($D_i=1$). La media condicional de los resultados en términos de las variables observables está dada por
$$
\begin{align}
\mathbb{E}(Y_i \mid X_i, D_i) &= \mathbb{E}(Y_{0i}\mid X_i, D_i) + D_i\left(\mathbb{E}(Y_{1i}\mid X_i, D_i)-\mathbb{E}(Y_{0i}\mid X_i, D_i)\right) \\
\end{align}
$$
Aquí nosotros no paramétrico de suposiciones acerca de la forma de la esperanza condicional funciones. Tenga en cuenta que todas estas especificaciones están restringidos a la localidad de $x_0$$X_i\in [x_0-\Delta_n, x_0+\Delta_n]$, donde la indexación por el tamaño de la muestra es por razones pragmáticas (se hace relevante a la hora de definir el estimador).
Recordemos que en el fuerte RD caso, podemos escribir $D_i=\mathbf{1}_{[X_i\geq x_0]}$ donde $x_0$ es el punto de discontinuidad. En el FRD caso, esta relación es no determinista, en cambio, tenemos que la media condicional , según el modelo, en términos de la discontinuidad
$$
\begin{align}
\mathbb{E}(D_i\mid X_i) &= \mathbb{P}\left[D_i=1\mid X_i\right]\\
&=(1-\mathbf{1}_{[X_i\geq x_0]})\mathbb{P}\left[D_i=1\mid X_i< x_0\right] + \mathbf{1}_{[X_i\geq x_0]}\mathbb{P}\left[D_i=1\mid X_i\geq x_0\right]
\end{align}
$$
Tenga en cuenta que desde $X_i$ es exógena en el sistema, así que es la variable aleatoria $\mathbf{1}_{[X_\geq x_0]}$ - actúa como los excluidos variable exógena en la especificación de la conditinal media de la variable endógena $D_i$.
Estimación
Esto es válido sólo identificado IV modelo, con una variable endógena $D_i$, y una excluidos variable exógena $\mathbf{1}_{[X_i\geq x_0]}$. Directa y general estimador sin más paramétrico de los supuestos es el test no paramétrico de Wald estimador.
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\dfrac{\widehat{\mathbb{E}}\left(Y_i \mediados de x_0 \leq X_i\leq x_0+ \Delta_n \right)-\widehat{\mathbb{E}}\left(Y_i \mediados de x_0- \Delta_n \leq X_i< x_0\right)}{\widehat{\mathbb{P}}\left[D_i=1\mediados de x_0 \leq X_i\leq x_0+ \Delta_n \right]-\widehat{\mathbb{P}}\left[D_i=1\mediados de x_0- \Delta_n \leq X_i< x_0\right]}
$$
Típicamente local suavizadores, como el local lineal suave se utiliza para estimar la media condicional funciones.
COMIÓ interpretación
Tenga en cuenta que para interpretar el dado estimador como el efecto medio del tratamiento [ATE] en la localidad de $x_0$, hemos utilizado el inverosímil, pero la rutina condicional (en $X_i$) de la independencia de $D_i$$Y_{1i}-Y_{0i}$. Esto nos permite eliminar el acondicionado en $D_i$ en la media condicional función de los resultados en matemática de la manera conveniente. Para obtener más detalles, consulte Hahn, Todd & van der Klauuw (2001), que es una excelente y legible de referencia para RD modelos. También proporcionan interpretaciones del parámetro a ser estimado bajo supuestos más débiles.
