Por qué, de manera intuitiva, hacer diferentes figuras con la misma área de superficie tienen diferentes volúmenes?

Question

Esto es algo que siempre me molestó. Soy consciente de que usted puede ver fácilmente por qué este es el caso con las matemáticas. Quiero decir, incluso en el 2-D caso, tome un cuadrado con lado de longitud $1$, y tiene un perímetro de $4$ y un área de $1$. Ahora tome un rectángulo con longitudes de lado $0.5$$1.5$, entonces el perímetro es $4$, pero ahora la zona es $0.75$.

Pero donde hizo todos los extra de área? Tenemos la misma cantidad de material que hay. Intuitivamente , me gustaría decir que el mismo está cubierto, pero está distribuido de manera diferente, pero esto claramente no es el caso. Yo sé que las diferentes formas con la misma zona de la superficie tienen diferentes volúmenes, pero yo no puede imaginarse por qué. Puedo tomar una hoja de (ideal) de papel, la vuelta a una esfera, y luego convertirlo en un cubo, y que vas a tener diferentes volúmenes, a pesar de usar la misma hoja de papel.

Para ampliar sobre esta cuestión un poco más, lo hace de una forma "mejor" con el volumen que otro?

Espero que no se trata de un notable tema trivial, de la que me estoy perdiendo algo que es obvio.

Answer 1

Ate los dos extremos de un hilo de varias pulgadas de largo juntos. Llene el fregadero de la cocina con agua. Dejar que las ondas de asentarse. Deje que el bucle de hilo de flotar en la plácida superficie, pero colocarlo de manera que el hilo meandros de forma errática --- no es un círculo sino una serpenteante curva de regresar a su punto de partida. A continuación, colocar una pequeña gota de detergente para platos en la parte de la superficie rodeada por el hilo. El detergente es un surfactante: disminuye la tensión superficial. Pero lo hace en la región, rodeada por el hilo y no fuera de él. El resultado: la tensión superficial en el exterior tira del hilo hacia afuera y de repente se asume una circular de forma!

Conclusión: el círculo que rodea un área más grande que cualquier otra curva cerrada de la misma longitud.

Así que piensa acerca de eso.

Esa es la "físicos solución" del problema isoperimétrico. Dym y McKean, el libro de las transformadas de Fourier resuelve el mismo problema mediante el uso de series de Fourier.