Como una pequeña parte de un proyecto mucho mayor, necesito ser capaz de aproximarse a los resultados numéricos de la función W de Lambert. He encontrado decente aproximaciones (bueno por lo menos a 4 decimales), para W para las entradas en $[3,\infty)$$[0,3)$. Pensé que esto iba a ser suficiente, pero resulta que gran parte de la entrada a la función se tiene que estar por debajo de cero. ¿Qué es una buena (y no demasiado complicado) la aproximación de W para el negativo de la entrada? Tenga en cuenta que yo soy un programador, no un matemático.
Respuesta
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Suponiendo que usted va para la rama principal, usted querrá que la expansión de la función de Lambert $W(z)$ sobre el punto de ramificación de la $z=-e^{-1}$:
$$W(z)=-1+t-\frac{t^2}{3}+\frac{11}{72}t^3+\dots$$
donde $t=\sqrt{2ez+2}$. Si usted requiere más términos de la sección 3 de este documento , se menciona la (complicado!) la recurrencia de la necesaria para generar los coeficientes de esta serie, así como los ajustes que usted necesita hacer si lo que necesita es el "menor" de la rama $W_{-1}(z)$ (sugerencia: que preocuparte más por la raíz cuadrada).
Alternativamente, Winitzki da en su papel de una conveniente aproximación para la rama principal de los argumentos cerca del punto de ramificación:
$$W(z)\approx\frac{ez}{1+\left((e-1)^{-1}-\frac1{\sqrt{2}}+\frac1{\sqrt{2ez+2}}\right)^{-1}}$$
He aquí una gráfica de lado a lado la comparación de tres approximants en el intervalo de $(-e^{-1},0)$. Las parcelas son de funciones de la forma $f(z)-W(z)$ donde $f(z)$ es uno de los siguientes: los cinco primeros términos de la rama punto de la serie, una $(3,2)$ Padé approximant construido a partir de la serie,
$$W(z)\approx\frac{-1+\frac16 t+\frac{257}{720}t^2+\frac{13}{720}t^3}{1+\frac56 t+\frac{103}{720}t^2}, \qquad t=\sqrt{2ez+2}$$
y el Winitzki approximant:
