Cuántos positivos triples $(n,m,k)$ satisfacer $n!+m!=2^k$

Question

Cuántos positivos triples $(n,m,k)$ satisfacer la siguiente ecuación:

$$n!+m!=2^k.$$

Mi tratar el siguiente, he utilizado el juicio y examinado muchos de los valores; sólo $4$ triples de trabajo que son $(1, 1,1)$, $(2,2,2)$, $(2,3,3)$, $(3,2,3)$

Hay otros triples??

Si no, ¿cómo puedo demostrar que?

Gracias por su ayuda

Answer 1

Por simetría, podemos suponer que $m\leq n$. A continuación, $m!$ divide tanto a a $m!$ $n!$ y por lo tanto se divide $m!+n!=2^k$, lo $m\leq2$. Si $m=1$ $2^k=1+n!\geq2$ es aún, por lo $n=1$$k=1$.

Si $m=2$$2+n!=2^k$$n!=2(2^{k-1}-1)$. Debido a $4$ no divide $2^{k-1}-1$ esto demuestra que $n<4$, lo $n=2$ o $n=3$. Compruebe que ambos dan soluciones, con $k=2$$k=3$.