no secuencial espacios

Question

Estoy buscando un espacio que no es secuencial. Traté de construir este ejemplo: Tome $X$ a ser una contables de la unión de la folloing puntos: $X= (\bigcup_{n=1}^\infty( \bigcup_{k=1}^\infty (\frac1n,\frac1k)))\cup(\bigcup_{i=1}^\infty(0,\frac1i))\cup\{(0,0)\} $ ($n,k,i$ son naturales numbrs). Definir la Base barrios de cada punto en $X$ a b:

1. si un punto es de la forma $(\frac1n,\frac1k)$, Entonces el abierto de barrio de $x$ (en la intersección de la vertical de los segmentos abiertos que contengan $(\frac1n,\frac1k)$ ( $X$ ).

2. si un punto es de la forma $(\frac1n,0)$, Entonces el abierto de barrio de $x$ (en la intersección de) abrir discos que contengan $(\frac1n,0)$ ($X$).

3. abierto de barrio de $(0,0)$ es (el intersetion de) abrir el disco que contenga $0$ en la frontera de la unión con $(0,0)$ sí (con $X$).

Esto es lo que parece:

Creo que esta es una topología y que $(X,T)$ no es secuencial desde tomar un subconjunto $A$$X$$A= (\bigcup_{n=1}^\infty( \bigcup_{k=1}^\infty (\frac1n,\frac1k)))$.

A continuación, $(0,0)$ está contenido en $\overline{A}$, pero no hay secuencia en $A$ que converge a $(0,0)$, (porque si no de los puntos que están en $X-axis$, siempre puedo encontrar una abierta barrio de $(0,0)$ no la contiene) Qué te parece, estoy en lo cierto?

Gracias!! Shir

Answer 1

No entiendo muy bien la topología de que usted está describiendo. Se acaba de dar su conjunto la topología de subespacio como un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$? Si es así, no creo que tu ejemplo funciona porque la secuencia de $(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ $A$ y converge a $(0,0)$.

Aquí está un ejemplo de un no secuenciales espacio. Deje $X$ ser una multitud innumerable y deje $\mathcal{T}$ ser la topología dada por el conjunto vacío junto con los subconjuntos de a $X$ cuyo complemento es la contable. Esto es a menudo llamado el cocountable topología.

Para ver que este juego no es secuencial, supongamos que $x_n$ es una secuencia convergente en $X$, y deje $x$ ser el punto límite. Considerar los contables conjunto de puntos de $x_n$ que no son iguales a $x$ y deje $U$ ser el complemento de este conjunto. Desde $U$ contiene $x$, debe haber alguna $N$ tal que $x_n\in U$ todos los $n\ge N$. Esto implica que $x_n=x$ todos los $n\ge N$. De ello se desprende que cada subconjunto de $X$ secuencialmente es abierto, pero no todo subconjunto de a $X$ está abierto.

Answer 2

Como yo lo entiendo $(X,T)$, $X$ es el conjunto $$\bigcup\limits_{n,k \geq 1} \left\{ ( x,y) \mid x= \frac{1}{n} \ \text{or} \ 0, \ y= \frac{1}{k} \ \text{or} \ 0 \right\},$$

y $T$ es la topología generada por $$\{(x,y) \in X \mid (x,y) \neq 0\} \cup \bigcup S,$$

donde $S$ es el conjunto de todos los subconjuntos de la forma $$ \left\{ \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{k_n} \right) \mid m \leq n \leq + \infty, \ m_n \leq k_n \leq + \infty\right\}.$$

Estoy de acuerdo en que $(0,0)$ es en el cierre de $A=X \cap (0,+ \infty)^2$, pero no en la secuencia de cierre de $A$:

Supongamos que $ \left( \left( \frac{1}{n_i}, \frac{1}{k_i} \right) \right)$ converge a $(0,0)$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $(1/n_i)$, una disminución de la secuencia convergente a $0$$i \to + \infty$. Deje $p_i>n_i$ todos los $i$. A continuación, la secuencia de arriba no cumple con el abierto de barrio

$$\left\{ \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{k_n} \right) \mid m \leq n \leq + \infty, \ m_n \leq k_n \leq + \infty\right\},$$

donde $m_n=p_i$ si $n=n_i$ $1$ lo contrario.

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Otro ejemplo de no-secuencial espacio es Arens-Fort espacio de $X$. Porque son los únicos clopen, cada secuencia convergente finalmente es constante, por lo que cualquier subconjunto es secuencialmente abiertas, mientras que $X$ no es discreto.

Un hecho interesante es que el $X$ es todavía countably generado. Muchas de las propiedades de $X$ puede ser encontrado aquí.

Answer 3

He seguido pensando en este ejemplo, con respecto a las nociones de secuencia, Frechet Urysohn y Contables de la generación. ¿No sería más correcto que El espacio descrito anteriormente es secuencial pero no Frechet Urysohn? Porque, si entiendo correctamente, la Secuencialidad permite itterations de límites mientras Frechet Urysohn no. Y, como yo lo entiendo, cada punto de la forma $(\frac1n,0)$ es un punto límite de $A$, e $(0,0)$ es un punto límite de la secuencia de $\{(\frac1n,0)\}$ ¿Qué te parece? Gracias! Shir