Determinar el conjunto de todas las funciones tales que $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ donde $|f(x)-f(y)|=|x-y|$ forman un grupo bajo composición.

Question

Sea f una función $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ donde $ |f(x) - f(y)| = |x - y| $

demuestra que el conjunto de todas esas funciones forma un grupo bajo composición.

Creo que este es el conjunto de todas las funciones lineales, ¿verdad? ya que $ f(x) = x + z $, $ z \in \mathbb{Z} $, satisface esta propiedad. Simplemente 'desplaza' este 'hueco' en alguna dirección a lo largo de la recta numérica. Supongo que esto funciona:

Sea $a, b \in \mathbb{Z}$ entonces $|f(x) - f(y)| = |a + z - (b + z)| = |a - b + (z - z)| = |a - b|$

Creo que esto tiene clausura ya que la composición $ f(g(x)) = f(x + z) = x + 2z $ donde $ 2z \in \mathbb{Z} $ ya que $(Z, +)$ es en sí un grupo.

No estoy seguro de cómo identificar y demostrar la existencia de la identidad aquí ya que esto se trata de un conjunto de funciones. ¿Algún consejo/pista?

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Y como nota - Si te has dado cuenta de que he estado publicando preguntas de álgebra abstracta durante los últimos dos días es porque está resolviendo cada problema/ejercicio/demonstración que nuestro profesor ha dado durante el último mes para prepararme para un examen! ¡Ninguna de estas se asigna para calificación!

Answer 1

Tenga en cuenta que las funciones de la forma $f(x)=a-x$ también satisfacen la condición.

Pero parece ser un desvío querer describir exactamente qué funciones están en el grupo. No es demasiado difícil de demostrar que son exactamente las funciones de la forma $a-x$ y $a+x$, pero sigue siendo un desvío, y podría considerarse poco elegante tener que dividir todo en estos dos casos (que se multiplican en cuatro para la composición) en lugar de trabajar directamente desde la definición y evitando la división por completo.

Si puede suprimir su deseo de saber cuáles funciones está hablando, es fácil probar directamente a partir de la propiedad definitoria que si tanto $f$ como $g$ lo tienen, entonces $f\circ g$ tiene la misma propiedad, y que si $f$ tiene la propiedad, entonces es biyectiva y su inversa debe tener la misma propiedad.

 

Además demostrando que $f$ debe ser biyectiva: Primero, si $f(x)=f(y)$ entonces $|f(x)-f(y)|=0$ así que $|x-y|=0$ lo que significa que $x=y$. Así hemos demostrado que $f$ tiene que ser inyectiva. Ahora para demostrar que $f$ es sobreyectiva, sea $y$ arbitrario y debemos mostrar que $y$ está en el rango de $f$. Sea $m=|f(0)-y|$. Si $m=0$ entonces $y=f(0)$ y ya hemos terminado. De lo contrario, cada uno de $m$ y $-m$ debe mapear a uno de $f(0)+m$ y $f(0)-m$; dado que $f$ es inyectiva, no pueden mapear ambos al mismo, por lo que $f(0)+m$ y $f(0)-m$ están ambos en el rango de $f$; uno de ellos debe ser $y$ y ya hemos terminado.

Como siempre cuando hablamos de la composición de funciones, el elemento de identidad debe ser la función identidad $f(x)=x$. (Necesitará demostrar que está en el grupo como se define, por supuesto).

En principio también debería verificar que la operación es asociativa, pero eso se obtiene de forma gratuita cuando la operación es la composición de funciones; siempre es asociativa sin importar de qué funciones estemos hablando.

Por cierto, el grupo en cuestión se conoce como el grupo diédrico infinito.

Answer 2

Llama a ese conjunto con la composición $G$. Nota que cada elemento de $G$ debe ser una biyección para que la operación esté bien definida. Obviamente, la función identidad pertenece a $G$. Si $f,g\in G$ entonces $$|f\circ g(x)-f\circ g(y)|=|f(g(x))-f(g(y))|=|g(x)-g(y)|=|x-y|$$ así que $f\circ g\in G$. $$|x-y|=|f\circ f^{-1}(x)-f\circ f^{-1}(y)|=| f^{-1}(x)-f^{-1}(y)|$$