¿Qué hay de malo con esta prueba de que$\sin’x=0$?

Question

Estaba escribiendo la prueba de $\sin'x=\cos x$ y terminé con algo que estaba mal, pero no estoy seguro de por qué. Aquí está:

Answer 1

En la segunda hasta la última línea, no existen ambos límites. Similar a $\infty-\infty \neq 0$

Answer 2

Se rompió el limite inicial incorrectamente. La correcta prueba sería como este. (Observe cómo el límite está dividido.) $$\sin'x = \lim_{h\to 0}\big(\frac{\sin(x+h)-sin(x)}{h}\big)$$ $$=\lim_{h\to 0}\big(\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\big)$$ $$=\lim_{h\to 0}\big(\frac{\sin x\cos h- \sin x+\cos x\sin h}{h}\big)$$ $$=\lim_{h\to 0}\big(\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\big)$$ $$=\lim_{h\to 0}\big(\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\frac{\cos x\sin h}{h}\big)$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{\cos x\sin h}{h}$$ $$=\sin x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$$ $$=\sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos x$$ $$\implies \boxed{\sin'x = \cos x}$$

Answer 3

No tienes motivos para simplificar.

PS