Dado $n$ ¿hay un $k$ y un primer $p$ tal que $10^kn < p < 10^k(n+1)$ ?

Question

Se trata del ejercicio 16(a) del capítulo 4, p. 102, del texto de Tom. M. Apostol sobre la teoría analítica de los números. El capítulo presenta varias versiones equivalentes del teorema de los números primos, los ejercicios allí están precedidos por el comentario, "[e]n este grupo de ejercicios puede utilizar el teorema de los números primos".

Dado un número entero positivo $n$ existe un número entero positivo $k$ y un primer $p$ tal que $10^kn < p < 10^k(n+1)$ .

Sé que todo intervalo contiene un número racional de la forma $\frac{p}{q}$ donde ambos $p$ y $q$ son primos. Así que usando esta propiedad, intenté resolver el ejercicio. Pero no puedo.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Un enfoque similar a la respuesta de Quid. Ya que $$\pi\left(x\right)=\frac{x}{\log\left(x\right)}+o\left(\frac{x}{\log\left(x\right)}\right) $$ si arreglamos $a>b>0 $ tenemos que $$\pi\left(ax\right)-\pi\left(bx\right)=\frac{ax}{\log\left(ax\right)}-\frac{bx}{\log\left(bx\right)}+o\left(\frac{x}{\log\left(x\right)}\right) $$ pero tenga en cuenta que $$\frac{1}{\log\left(Nx\right)}=\frac{1}{\log\left(x\right)+\log\left(N\right)}=\frac{1}{\log\left(x\right)}+o\left(1\right) $$ así que $$\pi\left(ax\right)-\pi\left(bx\right)=\frac{ax}{\log\left(x\right)}-\frac{bx}{\log\left(x\right)}+o\left(\frac{x}{\log\left(x\right)}\right)\tag{1} $$ Por lo tanto, si $x$ es lo suficientemente grande, $x>X$ digamos, tenemos que la RHS de $(1)$ es positivo. Ahora toma $a=n+1$ y $b=n$ . Así que existe algún $k$ tal que $10^{k}>X$ por lo que $$\pi\left(10^{k}\left(n+1\right)\right)-\pi\left(10^{k}n\right)>0$$ y por eso la reclamación.

Answer 2

Es de suponer que usted sabe algo así:

Por cada $\epsilon > 0$ hay un $x_{\epsilon}$ tal que para $x \ge x_{\epsilon}$ hay un primo entre $x$ y $(1 + \epsilon)x$

De aquí se obtiene la reclamación con $\epsilon=1/n$ y $k$ lo suficientemente grande como para que $n10^k \ge x_{\epsilon}$ .

Lo anterior es en realidad más débil que la PNT. Si se puede utilizar la PNT, y parece que sí, entonces se puede derivar la afirmación que menciono observando que $\pi ((1+ \epsilon)x)\sim \frac{(1+ \epsilon)x}{\log ((1+ \epsilon)x)} \sim \frac{(1+ \epsilon)x}{\log (x)}$ De ahí que $\pi((1+\epsilon)x) - \pi(x) \sim \frac{\epsilon x}{ \log x}$ . Por lo tanto, esta diferencia es siempre mayor que $0$ .

O bien, se hace algo similar al último párrafo con sus dos números directamente, es decir investigar $\pi(10^k(n+1)) - \pi(10^kn)$ utilizando PNT como se ha hecho anteriormente.