Suponiendo que A y B son no vacíos, si existe una función inyectiva F : A -> B entonces debe existir una función suryectiva g : B -> A

Question

O bien da un contraejemplo, o una prueba.

Una pregunta en mi revisión de pruebas.

Por lo que entiendo, debemos suponer que cada elemento de A se lleva a un único elemento de B (es decir, cada valor de A se asocia a un único valor de B cuando se perfora en F).

Ahora debemos demostrar (o refutar mediante el uso de un contraejemplo) que siempre existe una función suryectiva G que transporta B -> A. La suryectividad (por lo que entiendo) significa que CADA elemento de A (en este caso) tiene al menos un valor B asociado en términos de la función G.

¿Tendrá alguien la amabilidad de corregir los malentendidos que pueda tener? Además, no sé por dónde empezar con esta pregunta, ¡necesito ayuda!

Answer 1

Creo que la clave en este caso es darse cuenta de que, como $F:A \to B$ es inyectiva, podemos definir una función inversa $F^{-1}$ en $F(A)$ la imagen de $A$ en $B$ . Para cada $z \in F(A)$ es la imagen de algunos $y \in A$ Es decir, $z = F(y)$ para $y \in A$ y como $F$ es inyectiva hay exactamente uno tal $y$ . Establecemos $y = F^{-1}(z)$ , en $F(A)$ , para $z \in F(A)$ ; observamos que $F^{-1}:F(A) \to A$ es una suryección, ya que cada $y \in A$ satisface $y = F^{-1}(F(y))$ definimos una función $V:B \to A$ al establecer $V(z) = F^{-1}(z)$ para $z \in F(A)$ y $V(z) =a$ para cualquier $a \in A$ cuando $z \in B - F(A)$ ; ya que $F^{-1}:F(A) \to A$ es suryente, $V: B \to A$ es una suryección de $B$ a $A$ . QED.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

*¡Fiat Lux!! *

Answer 2

Denotando la inyección como $F$ : entonces su inversa, $G$ es una suryección de $F(A) \rightarrow A$ .

(Donde $F(A) := \{F(a): a \in A\}$ es la imagen de $A$ después de aplicar $F$ a la misma).

Desde $A$ es no vacía, podemos elegir $a \in A$ .

Ampliar el dominio de $G$ de $F(A)$ a $B$ (si es necesario) asignando todos los elementos en $B-F(A)$ a $a$ .

Esta función (posiblemente ampliada), $g$ es un suryecto $B \rightarrow A$ . QED .