$n/5$,$(n-1)/2$,$(n-2)/3$,$(n-3)/4$ son números primos, ¿qué son los 18 dígitos$n$?

Question

$n$ es de 18 dígitos, mientras que $n/5$, $(n-1)/2$, $(n-2)/3$, $(n-3)/4$ son todos números primos. Encontrar $n$.

Hay un teorema que puede resolver este tipo de problema?

Por ejemplo, El Teorema del Resto Chino podría resolver los problemas de que si uno conoce el resto de la distancia Euclídea de la división de un entero $n$ por varios enteros, entonces se puede determinar de forma única el resto de la división de $n$ por el producto de estos números enteros, bajo la condición de que los divisores son pares coprime.

Sin embargo, esta pregunta es un paso más allá, las restricciones no sólo en el resto, pero también en los cocientes.

Así, hay teoremas relacionados, o tal tipo de preguntas que se deben resolver por la fuerza bruta?

Answer 1

Esto se parece más a un ejercicio de programación que a un problema de teoría de números. Es muy fácil concluir que todos los valores posibles de $n$ son de la forma:

$$n=35k+60$$

The first such number with 18 digits is $ 100 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000 \ 055$. We just have to find one that produces four primes. It looks like a very difficult job but actually the following code managed to generate a dozen of solutions in less than a minute:

find[] := Module[
   {n},
   n = 10^17 + 55;
   While[True,
    If[PrimeQ[n/5] && PrimeQ[(n - 1)/2] && PrimeQ[(n - 2)/3] && 
      PrimeQ[(n - 3) / 4], Print[n]];
    n = n + 60;
    ];
   ];

This function prints:

100000000004988815
100000000007664215
100000000022080415
100000000029160655
100000000033573415
100000000040231015
100000000041817055
100000000049727335
100000000051723295
100000000054931255
100000000060959095
100000000064312135
100000000064677535
100000000071630215
100000000071773135
100000000075327295
100000000077687455
100000000080714095
100000000082694815
100000000087186415
100000000087903535
100000000097346095
100000000099114295
100000000101532535
100000000104639695
100000000112930495
100000000114337615
100000000120137695
100000000121605295
100000000135502135
100000000138631135
100000000145064095
100000000145786255
100000000145813255
100000000146236495
100000000152464495
100000000154254535
100000000155096215
100000000160340935
100000000162088135
100000000162430015
...

So it's mostly brute force all the way, except in the first step. It's also amazing to see how fast Mathematica's $ PrimeQ $ función es para números de 18 dígitos.