Deje $G = \{x_1,\dots, x_n\}$ ser un conjunto equipado con una operación $*$. Deje $A = [a_{ij}]$ ser su tabla de multiplicación, $a_{ij} = x_i*x_j$. Suponga $G$ tiene una identidad $e$ (que $e*x=x*e=x$ para todos los $x\in G$). Mostrar que cada elemento de a$x\in G$ tiene dos caras inversa (es decir, hay un $x'\in G$ con $x*x' = x'*x = e$) si y sólo si la tabla de multiplicar $A$ es un cuadrado latino; es decir, no $x\in G$ se repite en cualquier fila o columna (= cada fila o columna es una permutación de $G$).
Si cada $x$ tiene inversa, entonces se da $a_{ij} = a_{ik}$ para $1\le i,j,k\le n$ entonces $x_i*x_j = x_i*x_k$ y multiplicando por $x_i^{-1}$ en la izquierda en ambos lados obtenemos $x_j = x_k$ entonces no hay dos elementos en posiciones distintas en la línea de $i$ son iguales. Lo mismo se aplica para las columnas mediante la recíproca de la derecha. A continuación, $A$ es de cuadrado latino.
Pero yo estoy luchando con la conversación. Dado $x_i\in G$, hay un $a_{ij}$ en la línea de $i$ tal que $x_i*x_j = e$ y en la columna de $i$ hay un $a_{ki}$ tal que $x_k*x_i = e$, y debo mostrar que $x_j = x_k$. He intentado otras formas similares de escribir estas multiplicaciones, pero no veo cómo mostrar la igualdad sin el uso de la asociatividad (que no es asumido).
Gracias por la ayuda.
