La definición de un débil derivados proviene de una más general, el programa de instalación se llama la teoría de distribuciones, también llamada teoría de funciones generales formalizados por el matemático francés Laurent Schwartz en la década de 1940.
Deje $\Omega$ ser un subconjunto de a$\mathbb R^n$. Definimos el espacio de las distribuciones $\mathcal D'(\Omega)$ como el dual topológico del espacio de funciones de prueba de $C^\infty_c(\Omega)$. Para obtener más detalles acerca de esta topología puede referirse a Walter Rudin del Análisis Funcional (p 151-153).
Para una distribución dada, $\tau$, su débil i-ésima derivada $\partial_{x_{i}}\tau$ en el sentido de las distribuciones se define como $$\begin{equation} \forall \phi \in C^\infty_c(\Omega) \;\;\langle\partial_{x_{i}}\tau, \phi\rangle \;:= -\langle\tau, \partial_{x_{i}}\phi\rangle \end{equation}$$
Para volver a tu pregunta, hay una inyección canónica del espacio $L^1_{loc}(\Omega)\hookrightarrow \mathcal D'(\Omega)$, de hecho uno puede mostrar que $$\langle f,\phi\rangle \;= \int_{\Omega} f\phi$$ for $f \en L^1_{col}(\Omega)$ is a distribution. Then we define a weak derivative for an $L^1_{col}(\Omega)$ funcionar como su derivada en el sentido de distribuciones:
$$\forall \phi \in C^\infty_c(\Omega)\;\; \langle f', \phi\rangle \;:= - \langle f, \phi'\rangle$$
Que también es: $$\int_{\Omega} f'\phi = - \int_{\Omega}f\phi'$$
Espero que esto ayude!
Edit: encontré este gran tema: Son débiles derivados y distribución de derivados diferente?
