Verificación de prueba: Identificadores de un anillo conmutativo local

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con 1. Probar que si $e\in R$ es idempotente, entonces $e=1$ o $e=0$.

Mi prueba: Deje $m\subset R$ ser el único ideal maximal. Tenemos que $R\cong R/m \oplus m$. Desde $R/m$ es un campo, entonces $e\in R/m$ es idempotente es trivialmente $0$ o $1$. Si $e\in m$, a continuación, $e\in J(R)$, el Jacobson radical. De ello se desprende que $1-e, 1-e^2$ son unidades. Sin embargo, $1-e=1-e^2=(1-e)(1+e)$. Por la cancelación de $1-e$, $1=1+e$, e $e=0$. Mi pregunta es, ¿podemos suponer siempre que esta descomposición de $R$, o es esto sólo es cierto en virtud de los requisitos especiales? Y puedo usar el teorema del binomio para resolver como lo hice yo?

Answer 1

Mi pregunta es, ¿podemos asumir siempre esta descomposición de $?

Answer 2

La solución sería correcta si usted retire $R\cong R/m\oplus m$, que se mantiene sólo en el caso especial cuando $m=\{0\}$. Y su argumento, obviamente, no lo necesita.

También puede simplificar el argumento. Tenga en cuenta que $e(1-e)=e-e^2=0$.

Supongamos $e$a no es invertible, entonces a$1-e$ es invertible, debido a las propiedades de la Jacobson radical. Por lo tanto, de $e(1-e)=0$ obtenemos $e=0$.

Si $e$ es invertible, entonces a partir de $e(1-e)=0$ obtenemos $1-e=0$.