¿Cómo cambiar los límites de integración?

Question

Estoy intentando resolver la integral de lo siguiente...

$$\int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\Theta$$

Entonces hago el siguiente paso...

$$=2 \pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr$$

pero luego el siguiente paso es sustituir $s = -r^2$ lo que resulta en...

$$=2 \pi\int_{- \infty}^{0}\frac{1}{2}e^{s}ds$$

Ahora los límites de integración están invertidos y el $r$ de alguna manera resulta en $1/2$.

¿Alguien puede explicar por qué funciona esto? ¿Por qué al sustituir se producen los cambios de límites y el resultado de la integración anterior?

Answer 1

$s=-r^{2}$ da $ds=-2rdr$ entonces $dr =-\frac 1 {2r} ds$. Además, a medida que $r$ aumenta de $0$ a $\infty$, $s$ disminuye de $0$ a $-\infty$.

Answer 2

Realmente necesitas sustitución. Ya conocemos la antiderivada de $re^{-r^2}$ y es $-e^{-r^2}\over 2$