Estoy intentando resolver la integral de lo siguiente...
$$\int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\Theta $$
Entonces hago el siguiente paso...
$$=2 \pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr$$
pero luego el siguiente paso es sustituir $s = -r^2$ lo que resulta en...
$$=2 \pi\int_{- \infty}^{0}\frac{1}{2}e^{s}ds$$
Ahora los límites de integración están invertidos y el $r$ de alguna manera resulta en $1/2$.
¿Alguien puede explicar por qué funciona esto? ¿Por qué al sustituir se producen los cambios de límites y el resultado de la integración anterior?
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$$s = -r^{2} \implies ds = -2r dr \implies -ds/2 = rdr$$ y cuando $r \to \infty$, $s \to - \infty$ y cuando $r \to 0$, $s \to 0$.
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Esta constelación de consecuencias es por eso que recomiendo a mis estudiantes que establezcan $s = r^2$. Esto genera menos signos negativos y, dado que el sustituto es monótonamente creciente, no invierte el orden de los límites de integración.