Cuando me descompongo $\omega = \sqrt{\frac km}$ (velocidad angular para un oscilador armónico simple) en sus unidades, obtengo:
$$\omega = \sqrt{\frac{kg * \frac {m}{s^2}}{kg *m}}$$
que se simplifica a:
$$\omega = \frac 1s$$
Si no me equivoco, esa es la unidad de frecuencia (hz). Sé que los radianes se consideran "sin unidad", pero no entiendo intuitivamente cómo se traduce a la velocidad angular ( $\frac{rad}{s}$ ) o cómo los radianes están involucrados.
La "velocidad angular" puede utilizarse de forma intercambiable con la "frecuencia angular", pero hay que distinguirla claramente de la "frecuencia cíclica", que es lo que habitualmente se denomina simplemente "frecuencia".
Las magnitudes angulares se miden en radianes por segundo, mientras que la frecuencia cíclica es "ciclos por segundo", es decir, hercios (Hz).
El "ángulo" aquí no es obvio la primera vez que lo ves. Hay dos formas equivalentes de entenderlo al principio:
Sólo acepta las matemáticas como guía El $\omega$ aparece en el argumento de los senos y cosenos cuando se escribe la evolución temporal de la posición, la velocidad, etc., por lo que $\omega t$ representa un ángulo y debe tener unidades angulares.
El "círculo de referencia" Para explicar el SHO en una clase en la que los alumnos no tienen cálculo, consideramos un objeto en movimiento circular uniforme y luego proyectamos ese movimiento en una dimensión. 1 En esta vista hay una velocidad angular real alrededor de un círculo real, pero sólo la estamos usando para mostrar que el SHO es equivalente al comportamiento del movimiento circular uniforme a lo largo de un solo eje.
Podrías objetar que ninguna de las dos cosas es muy satisfactoria -una puramente abstracta y la otra referida a una ayuda para la enseñanza/el cálculo y no a la realidad objetiva- y, a mi juicio, tendrías razón.
Una explicación más fundamental viene de considerar el sistema en Espacio de fase hamiltoniano donde su trayectoria es un círculo 2 y tiene una frecuencia angular $\omega$ .
Y sí, los radianes son formalmente adimensionales, por lo que se puede escribir la frecuencia angular como $\mathrm{s}^{-1}$ . Pero te odiarás por la mañana.
1 De hecho, utilizo un objeto sobre una mesa giratoria y un foco para demostrar esta construcción: la sombra del objeto ejecuta el SHO 1D en la pared. He visto una demostración en la que se emparejaba con un péndulo que se podía poner a oscilar junto a la pared para que se viera que la oscilación y el deslizamiento de la sombra realmente hacer la correspondencia, pero nunca he conseguido que se amañe para mis propias clases.
2 El espacio de fase es un espacio abstracto (posición, momento). Para obtener una trayectoria circular para el SHO hay que utilizar coordenadas convenientemente escaladas, pero también son las que hacen que la energía del sistema sea proporcional al cuadrado del vector en ese espacio y se relacionan con el constructo que utilizamos para obtener los operadores de escalera para el SHO en la mecánica cuántica y demás. Es todo muy elegante, pero no estás preparado para seguir los detalles cuando la gente te dice por primera vez que $\sqrt{k/m}$ es la "velocidad angular".
Sí, lo entiendo, pero ¿dónde están los radianes? ¿Es sólo una propiedad de las oscilaciones que la constante k dividida por la masa produce un término de radianes sin unidad o hay algún tipo de intuición o derivación más profunda? Sé que suena un poco raro, pero quiero entender intuitivamente de dónde vienen los radianes
La frecuencia angular (rad/s) y la frecuencia (1/s=Hz) tienen la misma dimensionalidad física, como OP ha deducido correctamente, pero están relacionadas por un factor de $2\pi$ . La inversa de esta cantidad es el tiempo, en un caso el tiempo que se tarda en recorrer un radián en ángulo y en el otro en recorrer la revolución completa. (Hay $2\pi$ radianes en un círculo completo).
Si te dan alguna cantidad física como $\sqrt{k/m}$ y no estás seguro de cuál de las dos es, sólo hay una manera de averiguarlo, y es resolver las ecuaciones exactamente y averiguar el período de una oscilación y luego comparar. En otras palabras, la cantidad $\omega$ en la fórmula $\cos(\omega \, t)$ es una frecuencia angular, y $\nu$ en $\cos(2\pi\nu \, t)$ es la frecuencia ordinaria, y obviamente $\omega=2\pi\nu$ y el periodo $T=1/\nu$ .
Si miramos la ecuación del movimiento de una masa unida a un muelle de constante elástica, obtenemos $$\frac{d^2x}{dt^2}= - \left( \sqrt{\frac{k}{m}} \right)^2 x \;,$$ que es análoga a la ecuación $$\frac{d^2x}{dt^2}=-(\omega)^2 x \;.$$ (Obtenido por doble diferenciación $x=ACos(\omega t+\phi)$ ). Aquí $\omega$ es la velocidad angular, no la frecuencia.
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La relación entre $\omega$ y la frecuencia f en [hz] es $\omega =2\,\pi f$