Cómo determinar los triples pitagóricos que tienen una pendiente más cercana a 1

Question

Yo no soy un matemático, y no estoy seguro de cómo frase esta pregunta correctamente, así que por favor tengan paciencia conmigo que me tropiezo a través de la pregunta.

Teniendo en cuenta del Teorema de Pitágoras a2+b2=c2

Estoy buscando soluciones que satisfagan los siguientes requisitos:

1. dos de los principales de la pierna, incluso de la pierna o de la hipotenusa debe ser números primos
2. el tercer número debe ser un número entero
3. la pendiente se aproxima a 1

El tercer requisito es, obviamente, no está claro. Aquí están algunos ejemplos:

prime leg   even leg   hypotenuse   slope
---------   --------    ---------   -----
      3          4            5     0.750
      5         12           13     0.417
     11         60           61     0.183
     19        180          181     0.106
     29        420          421     0.069
     59       1740         1741     0.034
     61       1860         1861     0.033

Pero como se puede ver en la tabla, los números más grandes se vuelven menos y menos empinada.

¿Cómo usted va sobre el cálculo de este?

Answer 1

Usted va a tener un tiempo duro con esto. Claramente, su ternas Pitagóricas primitivas. Lo que significa que hay números naturales $u,v$ , de modo que su llamado primer cateto es igual a $u^2-v^2$, la pierna es igual a $2uv$ y la de la hipotenusa es igual a $u^2+v^2$.

El hecho de que su primer cateto es igual a $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, y al mismo tiempo un número primo significa que debemos tener $u-v=1$. La reescritura de las expresiones anteriores para los tres lados con esto da un primer tramo de longitud $2v+1$ , e incluso de la pierna de longitud $2(v^2+v)$. La relación entre estos dos lados es sólo va a conseguir más y más lejos de $1$ como usted elija más grande y más grande prepara para su primer lado.

Como una nota del lado, la longitud de la hipotenusa siempre va a ser $(v+1)^2+v^2=2(v^2+v)+1$, que es $1$ más que la longitud de la pierna. Usted probablemente ya manchada de este patrón de su mesa.

Answer 2

He desarrollado (presumiblemente original) funciones para la generación de ternas Pitagóricas que puede ayudar a su búsqueda. Se desarrollaron a partir de la observación de que los triples de interés – donde MCD(a,B,C) es un extraño plaza – son miembros de distintos grupos, como se muestra en esta pequeña muestra. Nota la diferencia entre los $B$ e $C$ para todos los miembros de cada conjunto es la $n^{th}$ número impar. $$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \text{%#%#%}& \text{%#%#%} & \text{%#%#%} & \text{%#%#%} & \text{%#%#%}\\ \hline \text{%#%#%} & 3,4,5 & 5,12,13& 7,24,25& 9,40,41\\ \hline \text{%#%#%} & 15,8,17 & 21,20,29 &27,36,45 &33,56,65\\ \hline \text{%#%#%} & 35,12,37 & 45,28,53 &55,48,73 &65,72,97 \\ \hline \text{%#%#%} &63,16,65 &77,36,85 &91,60,109 &105,88,137\\ \hline \end{array}$$ Las funciones para la generación de estos triples son: $Set_n$$ $Triplet_1$$ $Triplet_2$$ donde $Triplet_3$ es el conjunto número y $Triplet_4$ es el número de miembro en el conjunto. Tengo la esperanza de que mediante programación puede generar una gran cantidad de trillizos y seleccionar los que cumplen con su criterea. Por ejemplo: $Set_1$ por encima es el más cercano en la lista para tener una pendiente de $Set_2$. No sé cómo se podría ir sobre la búsqueda de $Set_3$ primos por triple pero la mayoría de estos son, al menos, mutuamente prime. Las excepciones son como $Set_4$ que es un $$A=(2n-1)^2+2(2n-1)k$X múltiplo de $$B=2(2n-1)k+2k^2$. Aquellos que coinciden con el requisito de aquí, se $$C=(2n-1)^2+2(2n-1)k+2k^2$ e $n$. Si nos referimos a un triplete como f(n,k), aquí están algunos primative triples encontrado en una simple hoja de cálculo:

$k$$ $(21,20,29)$$ $1$$ $2$$ $27,36,45$$ $9$$ $3,4,5$$ $(3,4,5)$$ $(5,12,13)$$ $$f(n,k)=A, B, C \Rightarrow (ratio B/A) $$ $$f(1,1)=\mathbf3, 4, \mathbf5\Rightarrow 1.333333333$$

Buena suerte en su búsqueda.