¿Error en las curvas algebraicas de Fulton?

Question

El siguiente lema es de sección 3.3 de Fulton las curvas algebraicas.

Notación: $\psi$ es un mapa de $k[X,Y]/I^n×k[X,Y]/I^m$ a $k[X,Y]/I^{m+n}$

Estoy teniendo algunas dificultades para la comprensión del párrafo marcado en amarillo. Debería ser $r<n$ o $s<m$ lugar?

De lo contrario, ¿cómo se sigue que la $r+m=s+n$ e $A_rF_m=-B_sG_n$? Me doy cuenta de que esto debe tener algo que ver con el grado de $A_rF_m$ o $B_sG_n$ menos de $m+n$, pero a mí me parece como si esta no se sigue de la premisa de $r<m$ o $s<n$ (a pesar de la sustitución o con y parece ser suficiente ).

Answer 1

Sí, debe decir "Supongamos $r<n$ o $s<m$" justo antes de que sus marcas amarillas. En este supuesto, uno de $A_r F_m$, $B_s G_n$, tiene un grado menos de $m+n$. Posiblemente hay otros términos que también son distintos de cero (es decir, tienen un grado menos de $m+n$). Argumentando por grados de los términos, estos dos términos deben tener el mismo grado, el más pequeño grado plazo es $A_r F_m + B_s G_n$, y este debe ser $0$.