¿Qué es

Question

Cuando decimos que el conjunto de los racionales $\mathbb{Q}$, ¿cuál de los siguientes se hace referencia?

$$\left\{\frac{p}{q}~|~p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\right\}$$

o

$$\left\{\left[\frac{p}{q}\right]~|~p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\right\}$$

donde $[a]$ denota la clase de equivalencia en virtud de la relación de equivalencia: $$\frac{p}{q}\sim \frac{r}{s}\qquad \text{if}~ps=qr.$$

En otras palabras, la segunda, sólo las fracciones con $\gcd(p,q)=1$.

El equivalente de la pregunta puede ser: $\frac{1}{2}$ e $\frac{2}{4}$ distintos números racionales?

Mientras se muestra el $\mathbb{Q}$ es contable, utilizando la serpiente diagrama de argumentos, que utilizan primer set, es decir, todas las expresiones de la forma $\frac{p}{q}$. Y, a continuación, una enumeración de estas expresiones se hace. Esta es una prueba aceptable de countability si nuestra definición es el primer conjunto. Sin embargo, si tomamos la segunda definición, entonces siento que estas pruebas (de countability) son incompletos: uno también necesita mostrar que

1. Cada uno de los equivalence class $\left[\frac{p}{q}\right]$ es contable. -- sigue como uno puede darse una correspondencia uno a uno con $\mathbb{Z}$.
2. Contables de la unión de conjuntos contables nos contables -- una prueba de esto es similar a la de la serpiente diagrama de argumento.

Answer 1

Olvídate de ingenuo matemáticas. Qué es exactamente $\frac{p}{q}$ es? Si es el mismo como el par ordenado $(p,q)$ entonces ¿por qué molestarse con un símbolo diferente? No, es algo más.

Y, de hecho, comienzan con $X=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})\backslash(\mathbb{Z}\times\{0\})$ y en ese conjunto de definir la relación

$$(p,q)\sim (r,s)\text{ iff }ps=qr$$

y , a continuación, lo que ustedes llaman una fracción es

$$\frac{p}{q}:=[(p,q)]$$ $$\mathbb{Q}:=X/\sim$$

Así como usted puede ver $[\frac{p}{q}]$ que no tiene sentido. $\frac{p}{q}$ ya es una clase de equivalencia. Al menos formalmente.

Y bajo esta construcción nos ha $(1,2)\sim (2,4)$ e lo $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$. Aquí la igualdad signo "$=$" significa "igual como conjuntos". Y no hay ninguna ambigüedad aquí.

Así formalmente racionales son conjuntos. Pero esto no debería ser sorprendente. Me refiero a los números enteros son un conjunto así. Y productos naturales. Y las relaciones. Y funciones. Y de pares ordenados. Al final del día (casi) todo lo que en matemáticas es un conjunto.

Mientras se muestra el $\mathbb{Q}$ es contable, utilizando la serpiente diagrama de argumentos, que utilizan primer set, es decir, todas las expresiones de la forma $\frac{p}{q}$.

O, más precisamente, de lo que he definido anteriormente como $X$. Sí, típico de las pruebas muestran que $X$ es contable. Pero, a continuación, $\mathbb{Q}$ es en la mayoría de los contables, ya que es un surjective imagen de $X$ (a través de la función cociente $X\to X/\sim$). Se puede demostrar fácilmente que $\mathbb{Q}$ no puede ser finito desde $(x,1)\sim (y,1)$ si y sólo si $x=y$. Y así tiene que ser infinito contable.

Sin embargo, si tomamos la segunda definición, entonces siento que estas pruebas (de countability) son incompletos: uno también necesita mostrar que

1. Cada uno de los equivalence class $\left[\frac{p}{q}\right]$ es contable. -- sigue como uno puede darse una correspondencia uno a uno con $\mathbb{Z}$.

No, si de clases de equivalencia son contables o no es irrelevante. Por ejemplo, considere la posibilidad de $Y/\sim$ donde $x\sim y$ para todos los $x,y$. A continuación, $Y/\sim$ tiene exactamente un elemento, aunque una sola clase de equivalencia (ser $Y$) puede ser arbitrarly grande.

Por supuesto, cada clase de equivalencia de a$X$ tiene que ser en la mayoría de los contables, ya que es un subconjunto de a$X$ que (como hemos establecido) es contable. Es precisamente infinito contable debido a $(p,q)\sim(np,nq)$ cualquier $n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ e $(np,nq)=(mp,mq)$ si y sólo si $n=m$.

2. Contables de la unión de conjuntos contables nos contables -- una prueba de esto es similar a la de la serpiente diagrama de argumento.

Como antes: irrelevante para el problema.

De hecho, sus puntos 1. y 2. son útiles para demostrar que si $\mathbb{Q}$ es contable, entonces también lo es $X$ (siendo una contables de la unión de conjuntos contables). Pero eso no es lo que usted está tratando de demostrar.

Answer 2

$\Bbb Q$ es de hecho las clases de equivalencia de fracciones, donde dos fracciones son equivalentes si ambas pueden expandirse / simplificarse a la misma fracción. Entonces, sí, $\frac12$ y $\frac24$ , mientras que distintas fracciones, se consideran el mismo número racional.

Answer 3

Formalmente, es el último. Sin embargo, muy a menudo ver a la gente solo escribe $\mathbb Q=\{p/q\mid p,q\in\mathbb Z,q\neq0\}$ en su lugar, y esto es debido a que ya estamos asumiendo que las relaciones de equivalencia, en el sentido de que de inmediato nos consideren $2/4$ e $1/2$ a ser el mismo número; es decir, $2/4=1/2$. Pero en fin formalmente la construcción de este, tenemos el uso de la construcción, por clases de equivalencia, que pone la igualdad en diferentes pares ordenados de números para hacer de ellos las fracciones en el sentido usual de la palabra. Así, $2/4$ e $1/2$ son distintos antes de imponer la relación de equivalencia, equivalente (igual) después de hacerlo, y la razón por la que la escritura $\mathbb Q=\{p/q\mid p,q\in\mathbb Z,q\neq0\}$ es legítimo es debido a que la equivalencia se asume de forma implícita.