¿Por qué no incluimos $\pm\infty$$\mathbb R$?
Si lo hacemos, muchas ecuaciones tiene solución real (por ejemplo,$2^x=0$), y $\mathbb R$ será mucho más completa. ¿Por qué no lo hacemos?
Gracias.
Respuestas
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Edoardo Lanari
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Una gran razón por la que no incluimos $\infty$ es debido a que realmente no puede hacer operaciones aritméticas con ella. $\mathbb{R}$ es un campo, lo que significa que se satisface una lista de axiomas que dan una cierta estructura. Yo sugiero que busque en marcha de estos axiomas si usted no está familiarizado con ellos y ver cómo muchos de ellos comienzan a fallar si se intenta incluir una $\infty$$\mathbb{R}$.
Sí, incluido el $\infty$ le puede dar un extra de unos pocos soluciones a algunos problemas, pero no va a resolver todos los problemas ($x^2=-2$ por ejemplo) y, en algunos casos, introducir las respuestas que usted probablemente no quiere ($x=x+2$ ahora tenemos la solución $x=\infty$?). Todo esto no es realmente vale la pena todos los problemas que usted recibe para la inclusión de $\infty$$\mathbb{R}$.
Jason Baker
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494
No hay ninguna razón por la que no podemos agregar $\pm\infty$ a nuestro conjunto. A veces es realmente conveniente hacerlo: en teoría de la medida, es común trabajar con "la extendida no negativos reales" $\mathbb R_{\geq 0}\cup\{+\infty\}$ porque simplifica algunas declaraciones comunes.
Para realizar cálculos aritméticos, es muy incómodo sin embargo. En nuestro estándar $\mathbb R$, siempre que dividir por algo, siempre tenemos para asegurarse de que el denominador no es $0$, ya que la división por $0$ no está permitido. Este es un molesto artefacto tenemos que vivir con tan larga como queremos dividir las cosas. Del mismo modo, si añadimos $\pm\infty$ a nuestro conjunto, no hay una buena definición de lo $\infty-\infty$ es, así que cuando restamos dos variables, tenemos que asegurarnos de que nuestros números no son $\infty$. Si sumamos dos números de $x+y$, y resulta que tenemos $x=\infty$$y=-\infty$, nos topamos con el mismo problema, así que ni siquiera podemos sumar dos números sin comprobar primero que no está infinito! Esto es tedioso, así que decidimos no incluir a $\pm\infty$ en nuestra serie.
farmchris
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18
Si bien es cierto que podríamos haber "real" de las soluciones de las ecuaciones como$2^x = 0$$\Bbb R \cup \{\infty\}$, se puede obtener una cantidad similar de la intuición diciendo que
$$ 2^x \rightarrow 0 \;\operatorname{as}\; x \rightarrow \infty $$
mientras no perder una feria pocos herramientas importantes en el análisis (bueno, tal vez no en no-estándar de análisis, pero tengo poco conocimiento sobre ella) - ¿cómo puede usted utilizar el llamado "Axioma de Arquímedes", que indica que $\Bbb N$ no está delimitado por encima de en $\Bbb R$? Mientras que usted podría adaptar este modo que sólo se sostiene por la no-infinito partes de nuestro nuevo sistema de número, entonces ¿cuál es el punto de? Sin embargo, sin dicha herramienta, no veo cómo es posible demostrar mucho en el sistema; estoy bastante seguro de que algo como la de Bolzano-Weierstrass teorema no se puede sostener en $\Bbb R \cup \{\infty\}$.
También, los comentarios de nik son también vale la pena pensar: ¿es posible definir $\infty$ en una manera que no pierde la propiedad asociativa de la ordinaria reales?
Diskilla
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166
Tenemos varias extensiones a la "normal" de los números reales, incluyendo algún tipo de infinito.
Creo que de los números reales como otro paso más en un proceso iterativo de construcción, y por lo tanto no hay necesidad de detenerse allí.
Podemos empezar con el natural de los números: $1,2,3,...$ por lo que podemos hacer, además de ,por ejemplo,$1+2=3$, y la multiplicación, por ejemplo,$2\times3=6$, pero, dicen, no podemos hacer cada resta es posible que desee: $3-2=1$ está bien, pero $2-3=??$ no lo es.
La extendemos a entero números: $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$ y ahora resta está bien para cada elemento: $2-3=-1$
Y que se extienden a racionales números para permitir la división de números enteros (con la excepción de división por 0). Sorprendentemente esto no es del todo real los números, así que la dejamos caer en el raritos ($\sqrt{2}$, $\pi$, etc.) y tenemos todos los verdaderos números.
No hay ninguna razón para parar, y nosotros no. Hay muy pocas generalizaciones y extensiones. El extended real número de línea puede ser similar a lo que parecen estar buscando. El surrealista números también son muy interesantes, yo creo - y espero que pueda llegar a leer más acerca de ellos, algún día, cuando de alguna manera se ajustan a la forma en que me respondí a mí mismo, años atrás, la misma pregunta que te estás preguntando ahora.
