¿Podemos probar la irracionalidad de pi por su expresión como un producto limitante con las raíces cuadradas anidadas?

Question

Es posible demostrar la irracionalidad de la $ \pi $ a partir de la expresión $ \pi = Lim_{m \to \infty} [2^m(\sqrt(2-\sqrt(2+\sqrt(2+...)...)))]$, donde no se $m$ raíces cuadradas anidado en la expresión?

Esta expresión se obtiene al considerar la relación del perímetro de un regular $n$de lados del polígono para el diámetro de su circunferencia circunscrita y, a continuación, dejando $ n \to \infty$. Esta expresión fue encontrado por Arquímedes creo.Pero no veo Arquímedes nombre como uno de esos demostrar la irracionalidad. Me hace sospechar que si esto se puede hacer. Puede alguien por favor me proporcione un método (si es que existe)? Cualquier método indirecto a partir de aquí estaría bien.

Answer 1

No, no podemos. De su expresión radical infinita anidada para $\pi$ no puede concluir si es racional o irracional porque el radical anidado infinito puede tomar valores racionales. Aquí hay un ejemplo.

$$ 2 = \ sqrt {2+ \ sqrt {2+ \ sqrt {2 + ...}}} $$