¿Pueden ser iguales los$p(x)q(x+1)$ y$q(x)p(x+1)$?

Question

Supongamos que $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios distintos con coeficientes enteros. ¿Podemos concluir que $p(x)q(x+1)$ y $q(x)p(x+1)$ son expresiones distintas?

Answer 1

No, no se puede concluir que son necesariamente distintas expresiones. Un muy sencillo ejemplo es si $p(x) = a$ e $q(x) = b$ donde $a$ e $b$ son diferentes constantes enteras, así que, a continuación, $p(x)q(x + 1) = q(x)p(x + 1) = ab$. Un no-constante polinomio ejemplo es dejar a $p(x) = x$ e $q(x) = -x$. A continuación, $p(x)q(x + 1) = x(-(x + 1)) = -x(x + 1)$ e $q(x)p(x + 1) = -x(x + 1)$.

Como Somos sugirió en una pregunta comentario, considere la posibilidad de que $q(x) \neq 0$ por lo que puede utilizar la función racional $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$. Luego, dividiendo ambos lados de $p(x)q(x + 1) = q(x)p(x + 1)$ por $q(x)q(x + 1)$ da $\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(x+1)}{q(x+1)}$, es decir, $f(x) = f(x + 1)$. Para que esto sea cierto para todos los $x$ requiere $f(x)$ ser una función constante (tenga en cuenta que, como Jyrki Lahtonen escribió en una pregunta comentario, nos da una prueba de esto en su respuesta a la Intersección de dos subcampos de la Función Racional de Campo en el carácter $0$), es decir, $f(x) = c$ lo $p(x) = cq(x)$ para algunos racional constante $c \neq 1$ todos los coeficientes en $p(x)$ son enteros. En mi $2$ ejemplos de arriba, $c = \dfrac{a}{b}$ (con $b \neq 0$) y $c = -1$. En el caso especial de $q(x) = 0$, luego tenemos a $q(x) = cp(x)$ en su lugar, con $c = 0$.

Answer 2

Podemos demostrar el siguiente teorema, que básicamente responde a su pregunta:

Si $p(x)$ e $q(x)$ son distintos monic polinomios con complejo de los coeficientes y de $$p(x)q(x+1)=q(x)p(x+1)$$ a continuación, $p=q$.

Esto tiene una fácil conversar demasiado:

Si $p(x)$ e $q(x)$ tienen que $p=cq$ o $q=cp$ para algunos compleja $c$, luego $$p(x)q(x+1)=q(x)p(x+1)$$

Juntos, estos clasificar la totalidad de las soluciones de la ecuación.

Para demostrar que el ofrecido teorema de, en primer lugar tenga en cuenta que si en un par $p(x)$ e $q(x)$ tienen esta propiedad y $r(x)$ es cualquier polinomio se divide ambas, a continuación, $\frac{p(x)}{r(x)}$ e $\frac{q(x)}{r(x)}$ también debe tener la propiedad dada, ya que ambas partes están divididas por $r(x)r(x+1)$. Por lo tanto, si hay un contraejemplo, no es un contraejemplo donde $p(x)$ e $q(x)$ son coprime. Suponemos ahora que $p(x)$ e $q(x)$ son coprime, así que no comparten raíces.

Deje $r$ ser una raíz de $p(x)q(x+1)=q(x)p(x+1)$ con la máxima parte real. Tenga en cuenta que $r$ no puede ser una raíz de $q(x+1)$, como, a continuación, $r+1$ es una raíz de $q(x)$. Del mismo modo, $r$ no es una raíz de $p(x+1)$. Por lo tanto, $r$ debe ser una raíz de tanto $p(x)$ e $q(x)$. Esto contradice coprimality. Así que, por el contrario, $p(x)q(x+1)=q(x)p(x+1)$ no debe tener raíces tan $p(x)=q(x)=1$.

Answer 3

(1). Supongamos $p,q$ son reales polinomios con $deg(p)\ge deg(q)>0$ e $\forall x\in \Bbb R\,(\,p(x)q(x+1)=p(x+1)q(x)\,).$

Tenemos $p=qr+s$ donde $r,s$ son polinomios con $deg(s)<deg(q).$

Deje $A=\{x\in \Bbb R: \forall x\in \Bbb N \,q(x+n)\ne 0\}.$ Observar que $A$ es un conjunto infinito (ya que el polinomio $q$ no es la constante $0\,$) de un hecho para ser utilizado más tarde.

Para $x\in A$ deje $B(x)=\frac {p(x)}{q(x)}.$ , a Continuación, para $x\in A$ tenemos $B(x)=B(x+n)$ para todos los $n\in \Bbb N,$ así $$B(x)=\lim_{n\to \infty;n\in \Bbb N} B(x+n)=$$ $$=\lim_{n\to \infty;n\in \Bbb N} r(x+n) +\frac {s(x+n)}{q(x+n)}.$$ Now $\lim_{n\to \infty}\frac {s(x+n)}{q(x+n)}=0$ because $deg (p)>deg (s).$ Also $\lim_{n\to \infty}r(x+n)$ cannot exist for the polynomial $r$ unless $r$ is a constant. So let $r(y)=K\in \Bbb R$ for all $s\en \Bbb R.$ Now we have $$\forall x\in A\;( B(x)=K).$$ Therefore $$\forall x\in A\,(p(x)-Kq(x)=0).$$ So the polynomial $p-Kq$ is $0$ on the infinite set $A.$ Therefore $$\forall x\in \Bbb R\;(p(x)=Kq(x)).$$

Ahora observe que el conversar $(p=Kq \land deg(p)\ge deg(q)>0)$ implica $\forall x\in \Bbb R \,(p(x)q(x+1)=p(x+1)q(x)\,).$

Respecto a la constante de polinomios: Si $q=0$ (obviamente) $p(x)q(x+1)=p(x+1)q(x).$ Si $q $ es un no-$0$ constante, a continuación, $\forall x \in \Bbb R(\,p(x)q(x+1)=p(x+1)q(x)\,)\implies \forall x\in \Bbb R\,(p(x+1)=p(x)\,)$ lo que implica que el polinomio $p$ es constante.