Resortes con alguna masa finita

Question

Consideremos un muelle que tiene una masa finita. Con la ayuda de algún agente externo el muelle se ha extendido una cierta distancia $x$ . ¿La fuerza de restitución producida en el muelle seguirá siendo directamente proporcional a la extensión como cualquier muelle sin masa?

Answer 1

En principio, sí. Generalmente (es decir, en los problemas) se indica que los resortes no tienen masa porque facilita la resolución en determinadas situaciones, pero la Ley de Hooke ( $F=-kx$ ) se aplica no obstante.

Cuando la masa del muelle se vuelve no despreciable, como en el caso de la determinación de la aceleración de una masa unida o en el caso de las oscilaciones del muelle, entonces hay que considerar la masa del muelle, y la solución requiere integrar sobre la longitud del muelle.

Answer 2

Obviamente, en cuanto empecemos a tener en cuenta las características realistas de un muelle, perderemos la ley de Hook lineal (la fuerza es directamente proporcional a la extensión), que es una buena aproximación para extensiones pequeñas.

Dicho esto, podemos intentar ver si la presencia de una masa altera la cinemática del sistema: pensemos en añadir una densidad de masa a un muelle ideal clásico. La conclusión es que cuando ahora se extienda el muelle aplicando una fuerza sobre él, habrá cierta inercia del muelle que se opondrá aún más a una extensión rápida.

Veamos cómo surge esto de un modelo sencillo. Siempre podemos escribir su energía como: $$E=K+V$$ donde $E$ es la energía total del sistema, $K$ su energía cinética y $V$ su energía potencial.

Centrándonos en el término cinético, sabemos que podemos escribirlo como una integral sobre la distribución de masas: $$K=\frac{1}{2}\int_0^L dl \;\lambda\; v^2(l,t)$$ donde $\lambda$ es la densidad de masa por unidad de longitud ( $l$ ) y $v(l)$ es la velocidad de cada punto del muelle (aquí $l$ sigue la longitud del muelle, por lo que indica un punto del mismo). Básicamente hemos escrito el término cinético estándar $dK=\frac{1}{2}dm \;v^2$ para cada pieza infinitesimal de la cuerda de masa $dm$ .

Ahora pasemos al potencial. ¿Influye la masa en la energía potencial? Despreciemos los efectos relativistas (que hemos despreciado en la estimación del nuevo término cinético y en el modelo sin masa para empezar); podríamos seguir teniendo gravedad: al tener una masa distinta de cero, los puntos de la cuerda se atraen por interacción gravitatoria. Esto favorecería las configuraciones del muelle en las que está ligeramente comprimido (de modo que todos los puntos están ligeramente más cerca unos de otros). Sin embargo, como este cálculo parece desordenado y como supongo que tu muelle no tendrá una masa planetaria conservando la constante elástica original, despreciaremos también este efecto.

Ten en cuenta que acabo de decir que si el muelle fuera muy pesado su constante elástica y por tanto su energía potencial cambiaría. Esto se debe a que la energía elástica se genera por los enlaces eléctricos entre moléculas (o iones de la red en el caso de un muelle metálico). Si quieres un muelle tan pesado como un planeta, necesitarás que su sección tenga cientos de kilómetros de grosor: por lo tanto, tendrás muchos más límites microscópicos oponiéndose a la torsión y compresión del muelle (gigante).

La conclusión es que las fuerzas eléctricas entre los elementos microscópicos del muelle son siempre mucho más intensas que las fuerzas gravitatorias entre ellos. Por tanto, en cualquier muelle físicamente relevante, la "autointeracción" gravitatoria no desempeñará ningún papel.

Esto era para decir que la energía potencial $V$ seguirá siendo la del muelle original sin masa: $V=\frac{1}{2}k \Delta x^2$ , donde $\Delta x$ es la extensión del muelle.

Ahora, para entender cómo se modifica la ley de Hook, debes escribir las ecuaciones del movimiento. Si añadimos una fuerza externa constante $F_{ext}$ al sistema actuará como fuente de energía (modificando la energía con un término $+\Delta x\; F_{ext}$ ).

Podemos obtener las ecuaciones de movimiento simplemente derivando la energía $E$ con respecto al tiempo: $$\frac{dE}{dt}=\dot{E}\equiv0=\int_0^L\!\!dl\;[\lambda\;\dot{v}(l,t)\;v(l,t)]+\Delta\dot{ x}\left( k\Delta x +F_{ext}\right)$$ donde reconocemos que $\Delta\dot{x}=v(L,t)$ (si $v(0,t)=0$ ).

En conclusión, la extensión resultante de la aplicación de la fuerza externa estará dada por: $$k\Delta x=-F_{ext}-\int_0^L\!\!dl\;\lambda\;\dot{v}(l,t)\;\frac{v(l,t)}{v(L,t)}$$

Esto significa que sólo en el límite estático en el que el muelle ha dejado de acelerar la ley de Hook volverá a ser válida.

Answer 3

La ley $F=-kx$ es una muy buena aproximación matemática de los resortes reales. Pero cualquier resorte real no obedece esta ley con precisión. Siempre hay algunas diferencias.

El muelle sin masa es obviamente una abstracción matemática también. En la mayoría de las circunstancias podemos tratar los muelles reales como sin masa. Pero no siempre, depende del problema a resolver.

Podemos utilizar otra abstracción matemática: "muelle ideal con masa". Pero no podemos exigir que siempre obedezca la ley $F=-kx$ porque no sería un resorte sino algo raro.

Imaginemos que hemos extendido el muelle y lo hemos dejado ir. Incluso nuestro muelle matemáticamente ideal no puede recuperar instantáneamente su longitud original, ya que algunas partes del muelle tienen masa y no pueden moverse muy rápido. Por lo tanto, habrá un periodo de tiempo en el que el muelle siga extendido, pero no se le aplique ninguna fuerza.

Sin embargo esta abstracción matemática puede obedecer la ley $F=-kx$ cuando no hay movimientos en el sistema.

Answer 4

La ley de Hooke difiere de otras leyes físicas en un aspecto importante:

• Los muelles obedecen estrechamente a la ley de Hooke porque están cuidadosamente fabricados para obedecer estrechamente a la ley de Hooke.

La ley de Hooke no es una ley fundamental, lo cual debería ser obvio si se tiene en cuenta que un muelle no es un objeto natural, sino una pieza de ingeniería fabricada.

Es posible comprar muelles que no obedecen a la ley de Hooke, que se fabrican para fines específicos. En este sentido, la ley de Hooke se asemeja más a una especificación de ingeniería que a una ley física, aunque a efectos de la enseñanza de la física se trata como tal.

Así que, en realidad, la respuesta a "¿obedecerá un muelle la ley de Hooke en determinadas condiciones?" es que hay que consultar la ficha técnica del fabricante. En ella encontrará información como la extensión máxima antes de que el muelle se deforme permanentemente, etc.

Answer 5

Para un muelle que sufre un estiramiento uniforme (es decir, sin aceleración), la ecuación fuerza-elongación es $$F=ku_L$$ donde u es el desplazamiento del extremo del muelle en x = L con respecto a su longitud no deformada de L. Esta ecuación también puede expresarse en la forma $$F=kL\frac{u_L}{L}$$

Para un muelle que sufre un estiramiento no uniforme (como el que se presenta con la aceleración), la relación correspondiente es $$F=kL\frac{\partial u}{\partial x}$$ donde u = u(x) es el desplazamiento de la sección transversal del muelle que estaba en la posición axial x en la configuración no deformada del muelle.

Si aplicamos un balance de fuerzas de 2ª ley en la sección del muelle (con aceleración y oscilación) entre x y $x+\Delta x$ obtenemos: $$F(x+\Delta x)-F(x)=\frac{m}{L}\Delta x\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$ donde m es la masa total del muelle y la derivada parcial del lado derecho es la aceleración de la sección transversal en el lugar x. Si dividimos por $\Delta x$ y tomar el límite como $\Delta x$ se acerca a cero, obtenemos: $$\frac{\partial F}{\partial x}=kL\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{m}{L}\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$ o, de forma equivalente, $$\frac{kL^2}{m}\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$$ Esta es la ecuación de onda para el muelle oscilante, con la velocidad de onda c dada por $$c^2=\frac{kL^2}{m}$$