Mi duda surge debido a las siguientes :
Sabemos que la definición de la derivada de una función en un punto $x=a$, si es diferenciable en a$a$, es: $$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(a+h) - f(a)}{h}$$
Supongamos que la función de $f(x)$ es diferenciable en un intervalo finito $[c,d]$ e $a \in (c,d) $
Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hospital de. Sobre la diferenciación entre el numerador y el denominador con respecto a $h$, obtenemos: $$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f'(a+h)}{1}$$ Lo que implica que $$f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} f'(a+h)$$ Lo que significa que la función de $f'(x)$ es continua en a$x=a$
Pero esto no es necesariamente cierto. Una función puede tener un derivado en todas partes, pero su derivada puede no ser continua en algún punto. Uno de los muchos contraejemplos es: $$f(x) = \begin{cases} 0 \text{ ; if x=0} \\ x^2 \sin \frac{1}{x} \text{; if x $\neq$ 0 } \end{cases}$$ Cuya derivada no es continua en a$0$
Así que, es algo con lo que he hecho ? O es necesario que para la aplicación de L'Hospital de la regla, de la función derivada debe ser una función continua?
Si esto último es cierto, ¿por qué esa condición aparecen en la prueba de L'Hospital de la regla ?
