Números de Bernoulli y$\pi^2$.

Question

Probablemente es bien sabido que:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{b_{2n}n^2}{b_{2n+2}}=-\pi^2,$$ donde $b_n$ son los números de Bernoulli.

Por un experimento numérico he encontrado que el cociente $$\frac{b_{2n}(n+a_1)(n+a_2)}{b_{2n+2}}$$ con $a_1=1, a_2=\frac12$ converge a $-\pi^2$ extremadamente rápido. Ya $n=35$ da correctamente 20 decimales de $\pi^2$! Ninguna otra combinación de $a_1$ e $a_2$ es incluso casi cerca de este resultado. Por ejemplo, $a_1=a_2=\frac12$ da sólo dos corregir posiciones decimales para $n=400$.

¿Cuál es el secreto de esta muy buena la convergencia de $a_1=1, a_2=\frac12$?

Answer 1

Considere la posibilidad de la fórmula (en https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Bernoulli_numbers_and_the_Riemann_zeta_function)

$$B_{2n} = {(-1)^{n+1} 2 (2n)! \over (2\pi)^{2n}} \zeta(2n)$$

donde $\zeta$ es la de Riemann zeta función (https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function). Esto le da

$${B_{2n} \over B_{2n+2}} = {(-1) (2\pi)^2 \over (2n+1)(2n+2)} {\zeta(2n) \over \zeta(2n+2)}$$

o, multiplicando por $(2n+1)(2n+2)/4$,

$${B_{2n} (2n+1) (2n+2) \over 4 B_{2n+2}} = -\pi^2 {\zeta(2n) \over \zeta(2n+2)}$$

El lado izquierdo es el cociente se le preguntó acerca de. El lado derecho es esencialmente 1 para grandes $n$ - más específicamente, como $n \to \infty$, tenemos $\zeta(2n) = 1 + O(1/4^n)$.

Así tenemos

$${B_{2n} \over B_{2n+2}} (n+1/2) (n+1) = -\pi^2 (1 + O(1/4^n)).$$

Para cualquier otra elección de las constantes de $a_1$ e $a_2$, tenemos

$${B_{2n} \over B_{2n+2}} (n+a_1) (n+a_2) = -\pi^2 {(n+a_1)(n+a_2) \over (n+1/2)(n+1)} (1 + O(1/4^n)).$$

El cociente

$${(n+a_1)(n+a_2) \over (n+1/2)(n+1)} = {n^2 + (a_1 + a_2)n + a_1 a_2 \over n^2 + (3/2) n + (1/2) }$$

es $1+O(n^{-2})$ si $a_1 + a_2 = 3/2$ pero $\{ a_1, a_2 \} \not = \{ 1/2, 1 \}$, e $1 + O(n^{-1})$ lo contrario. Y así obtenemos

$${B_{2n} \over B_{2n+2}} (n+a_1) (n+a_2) = -\pi^2 (1 + O(1/4^n)) (1 + O(n^{-k})) = -\pi^2 (1 + O(n^{-k})$$

con $k = 1$ o $k = 2$ dependiendo de la elección de $a_1$ e $a_2$. En concreto, los $(a_1, a_2) = (1/2, 1)$ o $(a_1, a_2) = (1, 1/2)$ da $O(1/4^n)$ término de error.