Considere la posibilidad de la fórmula (en https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Bernoulli_numbers_and_the_Riemann_zeta_function)
$$B_{2n} = {(-1)^{n+1} 2 (2n)! \over (2\pi)^{2n}} \zeta(2n)$$
donde $\zeta$ es la de Riemann zeta función (https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function).
Esto le da
$${B_{2n} \over B_{2n+2}} = {(-1) (2\pi)^2 \over (2n+1)(2n+2)} {\zeta(2n) \over \zeta(2n+2)} $$
o, multiplicando por $(2n+1)(2n+2)/4$,
$$ {B_{2n} (2n+1) (2n+2) \over 4 B_{2n+2}} = -\pi^2 {\zeta(2n) \over \zeta(2n+2)} $$
El lado izquierdo es el cociente se le preguntó acerca de. El lado derecho es esencialmente 1 para grandes $n$ - más específicamente, como $n \to \infty$, tenemos $\zeta(2n) = 1 + O(1/4^n)$.
Así tenemos
$$ {B_{2n} \over B_{2n+2}} (n+1/2) (n+1) = -\pi^2 (1 + O(1/4^n)). $$
Para cualquier otra elección de las constantes de $a_1$ e $a_2$, tenemos
$$ {B_{2n} \over B_{2n+2}} (n+a_1) (n+a_2) = -\pi^2 {(n+a_1)(n+a_2) \over (n+1/2)(n+1)} (1 + O(1/4^n)). $$
El cociente
$$ {(n+a_1)(n+a_2) \over (n+1/2)(n+1)} = {n^2 + (a_1 + a_2)n + a_1 a_2 \over n^2 + (3/2) n + (1/2) }$$
es $1+O(n^{-2})$ si $a_1 + a_2 = 3/2$ pero $\{ a_1, a_2 \} \not = \{ 1/2, 1 \}$, e $1 + O(n^{-1})$ lo contrario. Y así obtenemos
$${B_{2n} \over B_{2n+2}} (n+a_1) (n+a_2) = -\pi^2 (1 + O(1/4^n)) (1 + O(n^{-k})) = -\pi^2 (1 + O(n^{-k})$$
con $k = 1$ o $k = 2$ dependiendo de la elección de $a_1$ e $a_2$. En concreto, los $(a_1, a_2) = (1/2, 1)$ o $(a_1, a_2) = (1, 1/2)$ da $O(1/4^n)$ término de error.
