¿Hay otros métodos para aplicar para resolver ecuaciones simultáneas?

Question

Se nos pide resolver para $x$ e $y$ en el siguiente par de ecuaciones simultáneas:

$$\begin{align}3x+2y&=36 \tag1\\ 5x+4y&=64\tag2\end{align}$$

Puedo multiplicar $(1)$ por $2$, produciendo $6x + 4y = 72$, y restando $(2)$ a partir de esta nueva ecuación elimina $4y$ a resolver estrictamente para $x$; es decir, $6x - 5x = 72 - 64 \Rightarrow x = 8$. Sustituyendo $x=8$ a $(2)$ revela que $y=6$.

Yo también podría restar $(1)$ de $(2)$ y dividir por $2$, produciendo $x+y=14$. Vamos $$\begin{align}3x+3y - y &= 36 \tag{1a}\\ 5x + 5y - y &= 64\tag{1b}\end{align}$$ then expand brackets, and it follows that $42 - y = 36$ and $70 - y = 64$, thus revealing $y=6$ and so $x = 14 - 6 = 8$.

Incluso se puede utilizar matrices!

$(1)$ e $(2)$ podría ser escrita en forma matricial:

$$\begin{align}\begin{bmatrix} 3 &2 \\ 5 &4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}36 \\ 64\end{bmatrix}\tag3 \\ \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} &= {\begin{bmatrix} 3 &2 \\ 5 &4\end{bmatrix}}^{-1}\begin{bmatrix}36 \\ 64\end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 &-2 \\ -5 &3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}36 \\ 64\end{bmatrix} \\ &=\frac12\begin{bmatrix} 16 \\ 12\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 8 \\ 6\end{bmatrix} \\ \\ \therefore x&=8 \\ \therefore y&= 6\end{align}$$

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Pregunta

Hay otros métodos para resolver tanto $x$ e $y$?

Answer 1

Este método es permitido ?

$$\left[\begin{array}{rr|rr} 3 & 2 & 36 \\ 5 & 4 & 64 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rr|rr} 1 & \frac{2}{3} & 12 \\ 5 & 4 & 64 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rr|rr} 1 & \frac{2}{3} & 12 \\ 0 & \frac{2}{3} & 4 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rr|rr} 1 & 0 & 8 \\ 0 & \frac{2}{3} & 4 \end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{rr|rr} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 6 \end{array}\right] $$

que los rendimientos de $x=8$ e $y=6$

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El primer paso es $R_1 \to R_1 \times \frac{1}{3}$

El segundo paso es $R_2 \to R_2 - 5R_1$

El tercer paso es $R_1 \to R_1 -R_2$

El cuarto paso es $R_2 \to R_2\times \frac{3}{2}$

Aquí $R_i$ indica el $i$ -ésima fila.

Answer 2

Iteración De Punto Fijo

Esto no es eficiente, pero es otra forma válida de resolver el sistema. Tratar el sistema como una ecuación de matriz y se reorganizan para obtener $\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}$ en el lado izquierdo.

Definir $f\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (36-2y)/3 \\ (64-5x)/4\end{bmatrix}$

Empezar con un inicial de adivinar de $\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\end{bmatrix}$

El resultado es $f\begin{bmatrix} 0\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12\\ 16\end{bmatrix}$

Ahora conecte de nuevo en f

El resultado es $f\begin{bmatrix} 12\\ 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4/3\\ 1\end{bmatrix}$

Seguir usando el resultado de la espalda. Después de 100 iteraciones se tiene:

$\begin{bmatrix} 7.9991\\ 5.9993\end{bmatrix}$

Aquí hay un gráfico de la evolución de la iteración:

Answer 3

¿Qué hay de usar la regla de Cramer ? Defina $\Delta_x=\left[\begin{matrix}36 & 2 \\ 64 & 4\end{matrix}\right]$ , $\Delta_y=\left[\begin{matrix}3 & 36\\ 5 & 64\end{matrix}\right]$ y $\Delta_0=\left[\begin{matrix}3 & 2\\ 5 &4\end{matrix}\right]$ .

Ahora el cálculo es trivial, ya que tienes: $x=\dfrac{\det\Delta_x}{\det\Delta_0}$ y $y=\dfrac{\det\Delta_y}{\det\Delta_0}$ .

Answer 4

Por la falsa posición:

Suponga $x=10,y=3$, el cual cumple la primera ecuación, y deje $x=10+x',y=3+y'$. Ahora, después de la simplificación

$$3x'+2y'=0,\\5x'+4y'=2.$$

Podemos eliminar fácilmente la $y'$ (el uso de $4y'=-6x'$) y obtener

$$-x'=2.$$

Aunque este método no es esencialmente diferente de, digamos eliminación, puede ser útil para por mano de cálculo como los rendimientos de los más pequeños de términos.

Answer 5

Otro método para resolver ecuaciones simultáneas en dos dimensiones, es trazando gráficos de las ecuaciones en un plano cartesiano y encontrando el punto de intersección.