Ejercicio Folland 3.8

Question

Deje que$\nu$ sea una medida firmada y$\mu$ es una medida positiva, entonces$\nu \ll \mu$ iff${\nu}^{+} \ll \mu$ y${\nu}^{-} \ll \mu$.

Mi intento:

Parte conversa es fácil.

Para la implicación de reenvío, deje$\nu \ll \mu$ y$E \in \mathcal{M}$ tal que$\mu(E)=0$

$\Rightarrow \nu(E)=0$

$\Rightarrow {\nu}^{+}(E)={\nu}^{-}(E)$

Ya que${\nu}^{+}\perp {\nu}^{-}$$\exists P,N \in \mathcal{M}$ tal que P es${\nu}^{-}$ null y N es$\nu^{+}$ null.

$\Rightarrow$$\nu^+(E)=\nu(E \cap P)$

Pero no puedo continuar y mostrar${\nu}^{+}(E)=0$

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Que $X = P \cup N$ sea la descomposición de Hahn de la espacio de medida, $\nu = \nu^+ - \nu^-$.

Asumir $\nu \ll \mu$. Vamos a ver que $\nu^+(E)=\nu^-(E) = 0$. Sabemos que desde $\mu(E) = 0$ y $\mu$ es positivo, da a $P \cap E \subseteq E$ $\mu(P \cap E) = 0$ y así $\nu(P \cap E) = 0$. Pero esto es $\nu^+(E)$. Del mismo modo $\nu^-(E) = 0$.

Lo contrario es fácil: si $\nu^+ \ll \mu$ y $\nu^- \ll \mu$, entonces el $\mu(E) = 0$ implica $\nu^+(E) = \nu^-(E) = 0$, donde $\nu(E) = \nu^+(E) - \nu^-(E) = 0-0 = 0$, como quería.